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大作业
1.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率. (1)解：设A 表示事件“仪器发生故障”，i=1,2,3 P(A)=
)/()(3
1
B B i
i i
A P P ∑=,
P(B1)=3*0.2*0.80.2=0.384,P(B2)=3*0.22*0.8=0.096,P(B3)=0.23=0.008 所以P(A)=0.384*0.25+0.096*0.6+0.008*0.95+0.1612 (2) P(B 2/A)=
)
()(2A P A p B =0.96*0.6/0.1612=0.3573
2．设连续型随机变量X 的分布函数为
0,
,()arcsin ,,(0)1,
,x a x F x A B a x a a a x a ≤-⎧⎪⎪
=+-<<>⎨⎪
≥⎪⎩
求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在,22a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内的概率．（3）X 的概率密度函数．
解：（1）F （a+0）=A-2πB=0，F （a-0） =A+2πB=1 所以A=0.5 B=π
1 (2)P{-2a <X 2a }=F （2a ）-F(-2a -0)=3
1
(3)f （x ）=F ，
（X)={
a | x |,,x^2-a^2π1
<其他
3．已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)e ,0,0,
(,)0,x y k x y f x y -+⎧>>=⎨⎩
其它.
（1）求系数k ；（2）判断X 和Y 是否相互独立；（3）计算概率{}21P X Y <<；（4）求min{,}Z X Y =的密度函数()Z f z . 解：（1）.由
.2k ,1),(∞∞
∞
∞==⎰
⎰+-+-得dxdy y x f
（ 2）.相互独立。

X 和Y 的边缘概率密度分别为f x （x ）=⎩⎨⎧>-<=,
0,2^2,0,0x x e x f y (x)=⎩
⎨⎧>-<=,0,^.0,0y y e y 。

（3）.P {}4^11Y |2--=<<e x
（4).Z=min {}的分布函数为y x ,F z (z)=所以⎩
⎨⎧>--<=0,3^1.0,0z z e z fz(z)=⎩⎨
⎧>-<=0
,3^30,0z z e z
4．设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合概率分布为
（1）写出关于X 、Y 及XY 的概率分布；（2）求X 和Y 的相关系数XY ρ.
E(X)=4/3,E(Y)=4/3,COV(X,Y)=0,ρXY=0
5．假设0.50，1.25,0.80,2.00是来自总体X 的简单随机样本值。

已知ln Y X =服从正态分布N(μ,1).
(1)求X 的数学期望()E X ；
(2)求μ的置信度为0.95的置信区间. 解：（1）Y 的概率密度为：()()+∞<<∞-=
--
y e
y f y ,212
2
μπ
令μ-=y t 于是有：
()()()()⎰
⎰
⎰
∞
+∞
---
+
∞
+∞
--+--
∞
+∞
-==
===dt
e
e
dt e
e
dy e
e e
E X E b t t t y y
Y
222
12
1
2
12
12
212121π
π
π
μμ
μ2
1+
=μe
2）当置信度95.01=-α时，
05.0=α标准正态分布的水平为05.0=α的分位数等于1.96 故由Y 服从于)4
1
,(μN ,得:
95.0}4
196.14
196.1{=⨯
+<<⨯
-y y P μ
其中()01ln 4
12ln 25.1ln 8.0ln 5.0ln 41
==+++=
y 于是有: 95.0}98.098.0{=<<-μP 从而[]98.0,98.0-就是μ的置信度为0.95的置信区间.
6．设总体X 的概率密度为
0<1,
(1),()0,x x f x θθ<⎧+=⎨⎩
其他,
其中1θ>-是未知参数,12,,,n X X X 为来自总体X 的样本,试求参数θ的矩估计量和最大似然
估计量.
解：（1） 因为 1
101
()(1)d 2
E X x x x θθμθθ+==+=+⎰, 令 11A μ=, 即
1
2
θθ++X = , 解得θ的矩估计量为
21
ˆ1X X
θ
-=-
2) 设12,,
,n x x x 是样本12,,
,n X X X 的观测值(01,1,2,
,)i x i n <<=,似然函数为
12
1
1
()()(1)(1)(),n
n
n i i n i i L f x x x x x θθθθθ====+=+∏∏ (9)
取对数得 1
ln ()ln(1)ln n
i i L n x θθθ==++∑
令
1
d ln ()ln 0d 1n
i i L n
x θθθ==+=+∑，
解得θ的最大似然估计值为 1
ˆ
1ln n
i
i n
x θ==--
∑,。