g(x) 在 (, 3) 上为增函数;当 3 x 1时， g(x) 0, g(x) 在 (3,1) 上为减函数;
当 x 1 时， g(x) 0, g(x) 在 (1, ) 上为增函数;所以函数 g(x) 在 x 3 时取极大值,在 x 1 时取极小值.
当 g(3) 0 或 g(1) 0 时, g(x) 0 最多只有两个不同实根.因为 g(x) 0 有三个不同实根,
所以 g(3) 0 且 g(1) 0 . 即 27 27 27 c 0 ,且1 3 9 c 0 ,解得 c 27, 且 c 5, 故 27 c 5 .
（ 2） 由 （I） 的 证明 可 知 ，当 27 c 5 时 , f (x) 有 三 个极 值 点. 不 妨 设为 x1，x2，x3 （ x1 x2 x3 ）， 则
即 a(x2
2)
x2
2x
0
对任意 a (0, ) 都成立，于是 a
x2 2x x2 2
对0
∴ 2
x
0
于是
x
的取值范围是
x | 2 x 0
6、已知函数 f (x) 1 x4 x3 9 x2 cx 有三个极值点。
4
2
（1）证明： 27 c 5 ；
解: (1) f ' (x) ax2 3x (a 1) ，由于函数 f (x) 在 x 1 时取得极值，所以 f ' (1) 0
即 a 3 a 1 0,∴a 1
(2) 方法一由题设知： ax2 3x (a 1) x2 x a 1 对任意 a (0, ) 都成立，
即 a(x2 2) x2 2x 0 对任意 a (0, ) 都成立，设 g(a) a(x2 2) x2 2x(a R) , 则对任意 x R ，
2、 f (x) 是定义在 (0, ) 上的非负可导函数，且满足 xf / (x) f (x) 0 对任意正数 a, b .若 a b 则必有( C )
A. af (a) f (b) B. bf (b) f (a) C. af (b) bf (a) D. bf (a) af (b)
3、 f (x) 是定义在 (0, ) 上的非负可导函数，且满足 xf / (x) f (x) 0 对任意正数 a, b .若 a b 则必有 (C)
4
4
以当 0 x 4 时， 3 log 1 x log 2 x ；当 x 4 时， 3 log 1 x log 2 x ．
4
4
所以
f
(x)
log 2 x,
3
log
1 4
0 x,
x x
4 4
．
（2）
f
(x)
2
等价于：
0 log
x 4, 2x2
①或
x 3
4, log
1 4
x
2 ②．
（2）若存在实数 c，使函数 f (x) 在区间 a, a 2 上单调递减，求 a 的取值范围。
解：（1）因为函数 f (x) 1 x4 x3 9 x2 cx 有三个极值点,
4
2
所以 f (x) x3 3x2 9x c 0 有三个互异的实根.
设 g(x) x3 3x2 9x c, 则 g(x) 3x2 6x 9 3(x 3)(x 1), 当 x 3 时， g(x) 0,
函数与导数（理科数学）
1、对于 R 上的可导函数 f (x) ，若满足 (x 1) f / (x) 0 ，则必有（C）
A． f (0) f (2) 2 f (1)
B． f (0) f (2) 2 f (1)
C． f (0) f (2) 2 f (1)
D． f (0) f (2) 2 f (1)
f (x) (x x1)(x x2)(x x3). 所以 f (x) 的单调递减区间是 (，x1] , [x2, x3] 若 f (x) 在区间 a, a 2 上单调
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递减，
则a, a 2 (，x1] , 或a, a 2 [x2, x3] , 若 a, a 2 (，x1] ,则 a 2 x1 .由（I）知， x1 3 ,于是 a 5. 若 a, a 2 [x2, x3] ,则 a x2 且 a 2 x3 .由（I）知， 3 x2 1. 又 f (x) x3 3x2 9x c, 当 c 27 时，
答案：（1）
f
(x)
min3
log 1
4
x, log 2
x
=
3
log
1 4
log 2 x ,
x,
3 log 1 x log 2 x
4
3 log 1 x log 2 x
3分
4
解 3 log 1 x log 2 x 得 x 4 ．又函数 y1 3 log 1 x 在 (0,) 内递减， y2 log2 x 在 (0,) 内递增，所
A、 af (a) f (b) B、 bf (b) f (a) C、 af (b) bf (a) D、 bf (a) af (b)
4、记
minp,
q
p, q.
当p q 当p q
．若函数
f
(x)
min3
log 1
4
x, log 2
x ，
则函数 f (x) 的解析式_______________. f (x) 2 的解集为_________________.
g(a) 为单调递增函数 (a R) ，所以对任意 a (0, ) ， g(a) 0 恒成立的充分必要条件是 g(0) 0 ，
即 x2 2x 0 ，∴2 x 0 ， 于是 x 的取值范围是 x | 2 x 0
方法二 由题设知： ax2 3x (a 1) x2 x a 1 对任意 a (0, ) 都成立，
解得： 0 x 4或x 4 ，即 f (x) 2 的解集为 (0,4) (4,) ． 5、设函数 f (x) a x3 3 x2 (a 1)x 1, 其中a 为实数。
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（1）已知函数 f (x) 在 x 1 处取得极值，求 a 的值；
（2）已知不等式 f ' (x) x2 x a 1 对任意 a (0, ) 都成立，求实数 x 的取值范围。