2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）（2012•江苏模拟）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是．2．（5分）（2013•南通三模）设复数z满足（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）（2014秋•启东市校级期末）“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）．4．（5分）（2014秋•启东市校级期末）抛物线y=ax2的焦点坐标为．5．（5分）（2013秋•仪征市期末）函数y=+2lnx的单调减区间为．6．（5分）（2014•镇江一模）已知双曲线﹣=1的离心率为，则实数m的值为．7．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为．8．（5分）（2014秋•启东市校级期末）若“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则实数a的取值范围为．9．（5分）（2013秋•金台区期末）以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为．10．（5分）（2014秋•启东市校级期末）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC 的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．11．（5分）（2014秋•启东市校级期末）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（ⅰ）直线l 在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l 在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是．①直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2；②直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3；③直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx；④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx；⑤直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx．12．（5分）（2010•绍兴县校级模拟）若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为．13．（5分）（2014秋•启东市校级期末）已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b （m＜n，m，n∈N*），则a m+n=”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，且b m=a，b n=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n=．14．（5分）（2014秋•启东市校级期末）假设实数m，n满足m2+n2=1，且f（x）=ax+msinx+ncosx 的图象上存在两条切线互相垂直，则实数a的取值构成的集合为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）（2010•淳安县校级模拟）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）（2014秋•启东市校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD且2BC=AD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）若平面PAB∩平面PCD=l，求证：直线l不平行于平面ABCD．（用反证法证明）17．（14分）（2014秋•启东市校级期末）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆O2的圆心O2（2，1）．（1）若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．求圆O2的方程．18．（16分）（2008•天心区校级模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．（1）求常数a、b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．19．（16分）（2013•眉山二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．20．（16分）（2010•广东模拟）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．四、（附加题）试卷21．（2014秋•启东市校级期末）（1）求函数f（x）=cos2（ax+b）的导函数；（2）证明：若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数．22．（2014秋•启东市校级期末）设M、N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB=1，求点P的轨迹方程．23．（2014秋•启东市校级期末）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．24．（2014秋•启东市校级期末）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，e x﹣1＞．（n!=1•2•3•…•（n﹣1）n）2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）（2012•江苏模拟）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是∃x∈R，x2+1≤0．考点：命题的否定．专题：规律型．分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可解答：解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故答案为：∃x∈R，x2+1≤0．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法，其规则是全称命题的否定是特称命题，书写时注意量词的变化．2．（5分）（2013•南通三模）设复数z满足（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模为1．考点：复数求模．专题：计算题．分析：直接移项已知方程，两边求模，化简即可．解答：解：因为复数z满足（3+4i）z+5=0，所以（3+4i）z=﹣5，两边求模可得：|（3+4i）||z|=5，所以|z|=1．故答案为：1．点评：本题考查复数的模的求法，复数积的模等于复数模的积，考查计算能力．3．（5分）（2014秋•启东市校级期末）“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的充分不必要条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据线面平行的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若直线l∥平面α，则直线l⊄平面α成立，若直线l⊄平面α，则直线l∥平面α或l与平面α相交，故“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义是解决本题的关键．4．（5分）（2014秋•启东市校级期末）抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，）．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．解答：解：当a＞0时，整理抛物线方程得x2=y，即p=，由抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为（0，），所求焦点坐标为（0，）．当a＜0时，同样可得．故答案为：（0，）．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质，属基础题．5．（5分）（2013秋•仪征市期末）函数y=+2lnx的单调减区间为（0，]．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：先利用导数运算公式计算函数的导函数y′，再解不等式y′＜0，即可解得函数的单调递减区间解答：解：∵=（x＞0）由y′＞0，得x＞，由y′＜0，得0＜x＜，∴函数的单调减区间为（0，]故答案为（0，]点评：本题主要考查了导数的运算和导数在函数单调性中的应用，利用导数求函数单调区间的方法，解题时注意函数的定义域，避免出错6．（5分）（2014•镇江一模）已知双曲线﹣=1的离心率为，则实数m的值为4．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线﹣=1的离心率为，可得，即可求出实数m的值．解答：解：∵双曲线﹣=1的离心率为，∴，∴m=4．故答案为：4．点评：本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式解答：解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜点评：本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性8．（5分）（2014秋•启东市校级期末）若“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：利用已知判断出否命题为真命题，构造函数，利用绝对值的几何意义求出函数的最小值，令最小值不大于a，即可得到a的范围．解答：解：由于“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则命题“存在x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|≤a”为真命题．令y=|x﹣1|﹣|x+1|，y表示数轴上的点x到数﹣1及1的距离之差，所以y的最小值为﹣2，∴a≥﹣2．故答案为：[﹣2，+∞）．点评：本题考查命题p与命题￢p真假相反，考查绝对值的几何意义，考查不等式恒成立常转化为求函数的最值．9．（5分）（2013秋•金台区期末）以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为（x+2）2+（y﹣）2=．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：根据直线3x﹣4y+12=0方程求出它与x轴、y轴交点A、B的坐标，从而得到AB中点为C（﹣2，），即为所求圆的圆心．再用两点的距离公式，算出半径r=|AB|=，最后根据圆的标准方程列式即可得到所求圆的方程．解答：解：∵对直线3x﹣4y+12=0令x=0，得y=3；令y=0，得x=﹣4∴直线3x﹣4y+12=0交x轴于A（﹣4，0），交y轴于B（0，3）∵所求的圆以AB为直径∴该圆以AB中点C为圆心，半径长为|AB|∵AB中点C坐标为（，），即C（﹣2，）|AB|==∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣）2=，即（x+2）2+（y﹣）2=故答案为：（x+2）2+（y﹣）2=点评：本题给出已知直线，求以直线被两坐标轴截得线段为直径的圆方程，着重考查了中点坐标公式、圆的标准方程和两点间的距离公式等知识，属于基础题．10．（5分）（2014秋•启东市校级期末）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离；推理和证明；球．分析：直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．解答：解：若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，可补成一个长方体，体对角线长为，∵体对角线就是外接球的直径，∴棱锥的外接球半径R=．故答案为：．点评：本题考查球与内接三棱锥的位置关系，考查球的半径的求法，考查类比思想的运用，属于基础题．11．（5分）（2014秋•启东市校级期末）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（ⅰ）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是②④⑤．①直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2；②直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3；③直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx；④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx；⑤直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：新定义；导数的概念及应用．分析：分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P处的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．解答：解：对于①，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=﹣1=0，而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，故①错误；对于②，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故②正确；对于③，由y=lnx，得y′=，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，由g（x）=x﹣1﹣lnx，得g′（x）=1﹣，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．即y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故③错误；对于④，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈（﹣，0）时x＜sinx，x∈（0，）时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，故④正确；对于⑤，y=tanx的导数为y′=sec2x，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈（﹣，0）时x＞tanx，x∈（0，）时x＜tanx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，故⑤正确．故答案为：②④⑤．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，综合考查导数的应用：求单调区间和极值、最值，同时考查新定义的理解，属于中档题和易错题．12．（5分）（2010•绍兴县校级模拟）若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（2，+∞）．考点：圆方程的综合应用．专题：计算题．分析：由已知中曲线C的方程x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0，我们易求出圆的标准方程，进而确定圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2，然后根据曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，易构造出关于a的不等式组，解不等式组，即可得到a的取值范围．解答：解：由已知圆的方程为x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0则圆的标准方程为：（x+a）2+（y﹣2a）2=4故圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a＞0，且|﹣a|＞2解得a＞2故a的取值范围为（2，+∞）故答案为：（2，+∞）点评：本题考查的知识点是圆的方程的综合应用，其中根据曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，构造出满足条件的不等式组，是解答本题的关键．13．（5分）（2014秋•启东市校级期末）已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b（m＜n，m，n∈N*），则a m+n=”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，且b m=a，b n=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n=．考点：类比推理．专题：探究型；推理和证明．分析：首先根据等差数列和等比数列的性质进行类比，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的，很快就能得到答案．解答：解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的．故b m+n=，故答案为点评：本题主要考查类比推理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差数列和等比数列的性质，根据等差数列的所得到的结论，推导出等比数列的结论，本题比较简单．14．（5分）（2014秋•启东市校级期末）假设实数m，n满足m2+n2=1，且f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线互相垂直，则实数a的取值构成的集合为{0}．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；三角函数的图像与性质；直线与圆．分析：先利用辅助角公式和m2+n2=1将函数f（x）化简为f（x）=ax+sin（x+φ），求出f′（x），根据f（x）的图象上存在两条切线垂直，不妨设在x=b与x=c处的切线互相垂直，则由导数的几何意义，分别求出两条切线的斜率k1=f′（b）=a+cos（b+φ），k2=f′（c）=a+cos（c+φ），则[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，化简为关于a的一元二次方程要有实数根，从而得到△≥0，再利用三角函数的有界性，即可得到cos（b+φ）=1，cos（c+φ）=﹣1或者cos（b+φ）=﹣1，cos（c+φ）=1，代入到[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，即可求出a=0．解答：解：∵f（x）=ax+msinx+ncosx∴f（x）=ax+sin（x+φ），∵m2+n2=1，∴f（x）=ax+sin（x+φ），∴f′（x）=a+cos（x+φ），∵f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线垂直，设在x=b与x=c处的切线互相垂直，则k1=f′（b）=a+cos（b+φ），k2=f′（c）=a+cos（c+φ），∴k1•k2=﹣1，即[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，∴关于a的二次方程a2+[cos（b+φ）+cos（c+φ）]a+cos（b+φ）cos（c+φ）+1=0有实数根，∴△=[cos（b+φ）+cos（c+φ）]2﹣4×[cos（b+φ）cos（c+φ）+1]=[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2﹣4≥0，又∵﹣2≤cos（b+φ）﹣cos（c+φ）≤2，∴[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2≤4，即[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2﹣4≤0，∴[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2﹣4=0∴cos（b+φ）=1，cos（c+φ）=﹣1或者cos（b+φ）=﹣1，cos（c+φ）=1，∵[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，∴a2﹣1=﹣1，∴a=0，故答案为：{0}．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，两直线垂直的条件．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．属于中档题．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）（2010•淳安县校级模拟）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．分析：思路一：“按题索骥”﹣﹣解不等式，求否命题，再根据充要条件的集合表示进行求解；思路二：本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换，然后再根据充要条件的集合表示进行求解．解答：解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、（3分）由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=（6分）由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．（12分）解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”⇒“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p”．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．点评：本题考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法，又考了命题间的关系的理解；两个知识点的简单结合构成了一道难度不太大但是要么得分不高，要么因为这道题导致整张卷子答不完，所以对于此类问题要平时加强计算能力的培养．16．（14分）（2014秋•启东市校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD且2BC=AD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）若平面PAB∩平面PCD=l，求证：直线l不平行于平面ABCD．（用反证法证明）考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；（2）利用反证法，证明AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，得到矛盾即可得到结论．解答：（1）证明：自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，PH⊂平面PAB，所以PH⊥平面ABCD．因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH．因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．因为PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为BC⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB；（2）不平行，反证法：假设直线l平行于平面ABCD，由于l⊂平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，∴l∥CD，同理可得l∥AB，即AB∥CD，∵BC∥AD，∴四边形ABCD为梯形，则AD=BC，与2BC=AD矛盾，故假设不成立，即直线l不平行于平面ABCD．点评：本题主要考查面面垂直和线面平行的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．17．（14分）（2014秋•启东市校级期末）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆O2的圆心O2（2，1）．（1）若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．求圆O2的方程．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：（1）通过圆心距对于半径和，求出圆的半径，即可求出圆的方程．（2）利用圆心距与写出的故选求出，圆到直线的距离，然后求出所求圆的半径，即可求出圆的方程．解答：解：（1）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆心坐标（0，﹣1），半径为：2，圆O2的圆心O2（2，1）．圆心距为：=2，圆O2与圆O1外切，所求圆的半径为：2，圆O2的方程（x﹣2）2+（y﹣1）2=12﹣8，（2）圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．所以圆O1交到AB的距离为：=，当圆O2到AB的距离为：，圆O2的半径为：=2．圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．当圆O2到AB的距离为：3，圆O2的半径为：=．圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=20．综上：圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4或（x﹣2）2+（y﹣1）2=20．点评：本题考查两个圆的位置关系，圆的方程的求法，考查计算能力．18．（16分）（2008•天心区校级模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．（1）求常数a、b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）由题目条件知，点P（1，0）为切点，且函数在改点处的导数值为切线的斜率，从而建立关于a，b的方程，可求得a，b的值；（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，解不等式f'（x）＞0与f'（x）＜0，可求出函数的单调区间，讨论t与区间（0，2]的位置关系，根据函数的单调性分别求出函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．解答：解：（1）f'（x）=3x2+2ax，因为函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行，所以f'（1）=3+2a=﹣3，∴a=﹣3．又f（1）=a+b+1=0∴b=2．综上：a=﹣3，b=2（2）由（1）知，f（x）=x3﹣3x2+2，f'（x）=3x2﹣6x．令f'（x）＞0得：x＜0或x＞2，f'（x）＜0得：0＜x＜2∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．又f（0）=2，f（3）=2∴当0＜t≤2时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（t）=t3﹣3t2+2；当2＜t≤3时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（2）=﹣2；当t＞3时，f（x）的最大值为f（t）=t3﹣3t2+2，最小值为f（2）=﹣2点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最大值，最小值，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题．19．（16分）（2013•眉山二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据题意可求得b，进而根据离心率求得a和c，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立消去y，表示出x1+x2和x1x2，利用建立方程求得k．（Ⅲ）先看当直线的斜率不存在时，可推断出x1=x2，y1=﹣y2，根据=0求得x1和y1的关系式，代入椭圆的方程求得|x1|和|y1|求得三角形的面积；再看当直线斜率存在时，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用=0求得2b2﹣k2=4，最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案．解答：解：（Ⅰ）2b=2．b=1，e=椭圆的方程为（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+由已知=0得：=，解得k=±（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，由=0，则又A（x1，y1）在椭圆上，所以S=所以三角形的面积为定值（2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b得到x1+x2=代入整理得：2b2﹣k2=4=所以三角形的面积为定值点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．设直线方程的时候，一定要考虑斜率不存在时的情况，以免有所遗漏．20．（16分）（2010•广东模拟）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出f′（x）=，而方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4，再讨论（i）当﹣2＜k＜2时（ii）当k=±2时，（iii）当k＜﹣2或k＞2时的情况，从而求出函数的单调区间；（2）由（1）知当k＞2时，得f极大值（x）=f（x1）=＜0，当x∈（0，x2]时，f（x）≤f（x1）＜0，即f（x）在（0，x2]无零点，当x∈（x2，+∞）时，f（x）是增函数，故f（x）在（x2，+∞）至多有一个零点，另一方面，f（x）在（x2，2k）至少有一个零点，进而当f（x）存在极值时，f（x）有且只有一个零点．解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=，方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4，（i）当﹣2＜k＜2时，△＜0，在f（x）的定义域内f′（x）＞0，f（x）是增函数；（ii）当k=±2时，△=0，若k=﹣2，f′（x）=＞0，f（x）是增函数若k=2，f′（x）=，那么x∈（0，1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，且f（x）在x=1处连续，所以f（x）是增函数；（iii）当k＜﹣2或k＞2时，△＞0，方程x2﹣kx+1=0有两不等实根x1=，x2=，当k＜﹣2时，x1＜x2＜0，当x＞0时，x2﹣kx+1＞0恒成立，即f′（x）＞0，f（x）是增函数当k＞2时，x2＞x1＞0，此时f（x）的单调性如下表：x （0，x1）x1（x1，x）x2（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增减增综上：当k≤2时，f（x）在（0，+∞）是增函数当k＞2时，f（x）在（0，），（，+∞）是增函数，在（，）是减函数；（2）由（1）知当k＞2时，f（x）有极值∵x1==＜＜1，∴lnx1＜0，且f极大值（x）=f（x1）=＜0，∵f（x）在（0，x1）是增函数，在（x1，x2）是减函数，∴当x∈（0，x2]时，f（x）≤f（x1）＜0，即f（x）在（0，x2]无零点，当x∈（x2，+∞）时，f（x）是增函数，故f（x）在（x2，+∞）至多有一个零点，另一方面，∵f（2k）=ln（2k）＞0，f（x2）＜0，则f（x2）f（2k）＜0，由零点定理：f（x）在（x2，2k）至少有一个零点，∴f（x）在（x2，+∞）有且只有一个零点综上所述，当f（x）存在极值时，f（x）有且只有一个零点．点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，考查根的存在性及根的个数问题，是一道综合题．四、（附加题）试卷21．（2014秋•启东市校级期末）（1）求函数f（x）=cos2（ax+b）的导函数；（2）证明：若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数．考点：导数的运算；函数的周期性．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用倍角公式降幂，然后利用基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的导数得答案；（2）函数f（x）可导且为周期函数，则存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），两边对x求导数即可证明f′（x）也为周期函数．解答：（1）解：由f（x）=cos2（ax+b）=，得=﹣asin（2ax+2b）；（2）证明：函数f（x）可导且为周期函数，则存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），两边对x求导得f'（x+a）=f'（x），∴以f'（x）是以a为周期的周期函数．点评：本题考查了对数的运算，考查了基本初等函数的导数公式，考查了简单的复合函数的导数，是基础题．22．（2014秋•启东市校级期末）设M、N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB=1，求点P的轨迹方程．考点：轨迹方程．专题：导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x，y），M（x1，x12），N（x2，x22），由导数求得两直线的斜率，用点斜式求得l1 的方程，同理求得l2的方程，由此建立x，y 的方程．解答：解：设P（x，y），M（x1，x12），N（x2，x22），由y=x2，得y′=2x，∴=2x1，∴l1 的方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1），即y=2x1x﹣x12①，同理，l2的方程为y=2x2x﹣x22②，令y=0，可求出A（，0），B（，0）．∵|AB|=1，∴|x1﹣x2|=2，即|x1+x2|2﹣4x1x2 =4，由①，②，得，y=x1x2，故点P（，x1x2）．∴点P的轨迹方程为：y=x2﹣1，点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，体现了整体运算思想方法，是中档题．23．（2014秋•启东市校级期末）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；用空间向量求直线间的夹角、距离．专题：综合题；空间角．分析：（1）取CD的中点，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，故MO∥AB，A，B，O，M共面，延长AM，BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，由此能求出点A到平面MBC的距离．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，作BF⊥EC于F，连接AF，∠AFB是二面角A﹣EC﹣B的平面角，由此能求出平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．解答：解：（1）取CD的中点，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，∴MO∥AB，A，B，O，M共面，延长AM，BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，OB=MO=，MO∥AB，MO∥面ABC，M，O到平面ABC的距离相等，作OH⊥BC于H，连接MH，则MH⊥BC，∴OH=OC•sin60°=，MH=，∵V A﹣MBC=V M﹣ABC，∴d=．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，作BF⊥EC于F，连接AF，∠AFB是二面角A﹣EC﹣B的平面角，设为θ，∵∠BCE=120°，∴∠BCF=60°，BF=BC•sin60°=，tanθ=，sinθ=，所以平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为．点评：本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的正弦值的求法．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．。