江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试高二数学试卷命题人：陈存勤一、选择题：1.已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |(x －m )[x －(m ＋2)]>0}，若A ∪B ＝R ，则实数m 的取值范围是 ( )A. (－1，＋∞)B. (－∞，2)C. (－1,2)D. [－1,2]2.若函数f (x )＝⎩⎨⎧>≤---7,7,3)3(6x a x x a x 单调递增，则实数a 的取值范围是 ( ) A.)3,49( B. )3,49[ C. (1,3)D. (2,3)3.设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是减函数，那么ω的值可以是( )A. 12 B. 2 C. 3D. 44.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x －，方差为s 2，则 ( )A. x －＝4，s 2<2 B. x －＝4，s 2>2 C. x －>4，s 2<2D. x －>4，s 2>25.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 ( )A. 13B. 23C. 14D. 296.如图，在△ABC 上，D 是BC 上的点，且AC ＝CD ,2AC ＝3AD ，AB ＝2AD ，则sin B=( )A. 63B. 33C.66D.367.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )A. l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B. l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C. l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D. l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面9.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式V ≈148L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式V ≈175L 2h 相当于将圆锥体积公式中π的近似取为 ( )A.256 B. 258 C. 253 D. 25410.设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ＋PB 的取值范围 （ ）A. [5，2 5]B. [10，2 5]C. [10，4 5]D. [2 5，4 5]二、填空题：11.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x )，若函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f )(的解集为________． 12.若直线y ＝k (x －2)＋4与曲线y ＝1＋4－x 2有两个交点，则实数k 的取值范围是 .13.若点P 是△ABC 内的一点，且满足P A →＋PB →＋PC →＝0，则S △P AB S △ABC＝________．14.如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C 处的乙船，若设乙船朝北偏东θ弧度的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ＝________.15.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.16.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 . 三、解答题：17.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x <4}，B ＝{x |2a ≤x <3－a }．(1) 若a ＝－2，求B ∩A ，B ∩∁U A ； (2) 若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.18.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝32，AB →·AC →＝－18.(1) 求BC 的长； (2) 求tan2B 的值．19.某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区活动才取得学分．某校随机抽取了20位学生参加社区活动的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．(1) 求抽取的20人中，参加社区活动时间不少于90小时的学生人数；(2) 从参加社区活动时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区活动时间在同一时间段内的概率．20.如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l的方程．21.如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱P A，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，P A＝AC＝4，AB＝2.(1)求证：MN∥平面BDE；(2)求二面角C - EM - N的正弦值；(3)已知点H在棱P A上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．22.已知函数f(x)＝3－2lo g2 x，g(x)＝log2 x.(1) 如果x∈[1，4]，求函数h(x)＝[f(x)＋1]g(x)的值域；(2) 求函数M(x)＝2|)( )(|)()(xgxfxgxf--+的最大值；(3) 如果对不等式f(x2)f(x)＞kg(x)中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．江苏省启东中学高二数学期初测试卷一、选择题：1、已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |(x －m )[x －(m ＋2)]>0}，若A ∪B ＝R ，则实数m 的取值范围是( ) A. (－1，＋∞) B. (－∞，2) C. (－1,2)D. [－1,2]答案：C 解析：集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}＝(－1,4)，集合B ＝{x |(x －m )[x －(m ＋2)]>0}＝(－∞，m )∪(m ＋2，＋∞)，若A ∪B ＝R ，则⎩⎨⎧m >－1，m ＋2<4，解得m ∈(－1,2)，故选C. 2、若函数f (x )＝单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3 C. (1,3)D. (2,3)答案：B 解析：因为函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3－a >0且a >1.但应当注意两段函数在衔接点x ＝7处的函数值大小的比较，即7(3－a )－3≤a ，解得a ≥94，综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3.故选B.3、设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是减函数，那么ω的值可以是( )A. 12 B. 2 C. 3D. 4答案：A 解析：由题意可知函数的最小正周期T ＝2πω≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－0，解得ω≤32，结合选项可知只有A 符合．故选A.4、已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x －，方差为s 2，则( ) A. x －＝4，s 2<2 B. x －＝4，s 2>2 C. x －>4，s 2<2D. x －>4，s 2>2答案：A 解析：某7个数的平均数为4，方差为2， 则这8个数的平均数为x －＝18×(7×4＋4)＝4， 方差为s 2＝18×[7×2＋(4－4)2]＝74<2.5、甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( )A. 13B. 23C. 14D. 29答案：A 解析：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：甲 乙 锤 剪子 包袱 锤 (锤，锤) (锤，剪子) (锤，包袱) 剪子 (剪子，锤) (剪刀，剪子) (剪子，包袱) 包袱(包袱，锤)(包袱，剪子)(包袱，包袱))、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)．所以甲和乙平局的概率为39＝13. ＝36、如图，在△ABC 上，D 是BC 上的点，且AC ＝CD,2AC AD ，AB ＝2AD ，则sin B ＝( )A. 63 B. 33 C. 66D. 36答案：C 解析：由题意设AD ＝2x ，则AC ＝CD ＝3x ，AB ＝4x .在△ADC 中，由余弦定理可得cos ∠ADC ＝4x 2＋3x 2－3x 22·2x ·3x ＝33，所以sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63， 所以在△ADB 中，由正弦定理可得sin B ＝AD sin ∠ADB AB ＝2x ·634x ＝66.故选C. 7、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C 解析：因为A 1B ∥D 1C ，所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角为∠AD 1C .因为△AD 1C 为等边三角形，所以∠AD 1C ＝60°.故选C.8、l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A. l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B. l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C. l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D. l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面答案：B 解析：对于A ，如正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A 错；对于B ，因为l 1⊥l 2，所以l 1，l 2所成的角是90°，又因为l 2∥l 3所以l 1，l 3所成的角是90°，所以l 1⊥l 3，B 对；对于C ，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C 错；对于D ，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D 错．9、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式V ≈148L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式V ≈175L 2h 相当于将圆锥体积公式中π的近似取为( )A. 256B. 258C. 253D. 254答案：D 解析：设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的底面周长L ＝2πr ，所以r ＝L2π，所以V ＝13πr 2h ＝13π×L 24π2×h ＝L 212πh .令L 212πh ＝175L 2h ，得π＝7512＝254.10、设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ＋PB 的取值范围是( )A. [5，2 5]B. [10，2 5]C. [10，4 5]D. [2 5，4 5]答案：B 解析：由题意可知，动直线x ＋my ＝0经过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0即m (x －1)－y ＋3＝0经过定点B (1,3)，因为动直线x ＋my ＝0和动直线mx －y －m ＋3＝0的斜率之积为－1，始终垂直，P 又是两条直线的交点，所以P A ⊥PB ， 所以P A 2＋PB 2＝AB 2＝10.设∠ABP ＝θ， 则P A ＝10sin θ，PB ＝10cos θ， 由P A ≥0且PB ≥0，可得θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.所以P A ＋PB ＝10(sin θ＋cos θ) ＝2 5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以2 5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[10，2 5]．故选B.二、填空题：11、定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x )，若函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )x <0的解集为________．(－1,0)∪(0,1) 解析：由题意得到f (x )与x 异号，故不等式f (x )x <0可转化为⎩⎨⎧ x <0，f (x )>0)或⎩⎨⎧x >0，f (x )<0，)根据题意可作函数图象，如图所示：由图象可得：当f (x )>0，x <0时，－1<x <0；当f (x )<0，x >0时，0<x <1，则不等式f (x )x <0的解集是(－1,0)∪(0,1)．12、若直线y ＝k (x －2)＋4与曲线y ＝1＋4－x 2有两个交点，则实数k 的取值范围是解析：曲线y ＝1＋4－x 2可化为x 2＋(y －1)2＝4，y ≥1，所以曲线为以(0,1)为圆心，2为半径的圆在y ≥1的部分．直线y ＝k (x －2)＋4过定点P (2,4)，由图知，当直线经过点A (－2,1)时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP ＝4－12＋2＝34，由直线与圆相切得d ＝|－1＋4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512，则实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34.13、若点P 是△ABC 内的一点，且满足P A →＋PB →＋PC →＝0，则S △P AB S △ABC＝_________1314、如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C 处的乙船，若设乙船朝北偏东θ弧度的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ＝________.147515、有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________5π16、已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 。