江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.函数()sin f x x x =的导数是 ▲ ．2.若56n n C C =，则9n C ＝ ▲ ．（用数字作答）3.设曲线3y ax x =+在(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ▲ ． 4．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 ▲ ． 5.函数()ln f x x x =的单调减区间是 ▲ ． 6.函数311()433f x x x =-+的极大值是 ▲ ． 7.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子 的概率为 ▲ ．8.设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则'(3)f ＝ ▲ ． 9.用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答）10.已知函数3()27f x x x =-在区间[,1]a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11.已知两曲线()sin f x a x =，()2cos ,(,)2g x x x ππ=∈相交于点P ，若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V 的代数式表示） ▲ ．13. 已知直线y m =，分别与直线55y x =-和曲线2xy e x =+交于点M,N 两点，则线段MN 长度的最小值是 ▲ ．14. 已知a 为常数，函数2(0)()1ln (0)x x f x x x x +⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，则实数a 的取值所构成的集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）16．（本小题满分14分）设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．17．（本小题满分14分）已知曲线()ln(2)f x x ax =-+在点(0，(0)f )处的切线斜率为32. (1) 求()f x 的极值；(2) 设()()g x f x kx =+，若()g x 在(－∞，1]上是增函数，求实数k 的取值范围．18．（本小题满分16分）已知函数()f x ＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C ．（1）求过曲线C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围； （2）求()f x 在区间[]1,4-上的最值；（3）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．19．（本小题满分16分）为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为3π的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．为了实现“以展养展”，现决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域 ； （2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．第19题图BDCOAx20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二理科数学试卷参考答案(满分160分，考试时间120分钟) 命题人：龚凯宏一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.函数()sin f x x x =的导数是 ▲ ． 答案：sin cos x x x +2.若56n n C C =，则9n C ＝ ▲ ．（用数字作答）答案：553.设曲线3y ax x =+在(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ▲ ． 答案：134．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 ▲ ． 答案：35．5.函数()ln f x x x =的单调减区间是 ▲ ． 答案：1(0,)e6.函数311()433f x x x =-+的极大值是 ▲ ． 答案：1737.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子 的概率为 ▲ ． 答案： 498.设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则'(3)f ＝ ▲ ． 答案：1059.用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答） 答案：30010.已知函数3()27f x x x =-在区间[,1]a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是▲ ． 答案：(4,3)(2,3)--11.已知两曲线()sin f x a x =，()2cos ,(,)2g x x x ππ=∈相交于点P ，若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ． 答案：2312.某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V 的代数式表示） ▲ ． 32V π15. 已知直线y m =，分别与直线55y x =-和曲线2xy e x =+交于点M,N 两点，则线段MN 长度的最小值是 ▲ ． 答案：96ln 25- 16. 已知a 为常数，函数2(0)()1ln (0)x x f x x x x +⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，则实数a 的取值所构成的集合为 ▲ ． 答案： 31(,1)e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）4名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）解：（1）4345A A =1440;（2）4444A A =576;（3）61156555A A A A +=3720;（4）7373A A ÷=840 。

其中（1）、（2）每题3分；（3）、（4）每题4分16．（本小题满分14分）设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，其中a ，b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．(1)若随机数a ，b ∈{1,2,3,4,5}；(2)若a 是从区间[0,5]中任取的一个数，b 是从区间[0,4]中任取的一个数． 解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .…………2分 (1)基本事件共有25个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5),(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5),(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5),(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含15个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝35…………………………9分(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤5,0≤b ≤4}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤5，0≤b ≤4，a ≥b }，概率为两者的面积之比， 所以所求的概率为P (A )＝25…………………………14分17．（本小题满分14分） 已知曲线()ln(2)f x x ax =-+在点(0，(0)f )处的切线斜率为32. (1) 求()f x 的极值；(2) 设()()g x f x kx =+，若()g x 在(－∞，1]上是增函数，求实数k 的取值范围．解：(1) f(x)的定义域是(－∞，2)，f ′(x)＝1x －2＋a. ………………2分由题知f′(0)＝－12＋a ＝32，所以a ＝2，所以f′(x)＝1x －2＋2＝232x x --令f′(x)＝，得x＝32. …………………………4分 当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x (－∞，32) 32(32，2) f′(x) ＋0 －f(x)1所以f(x)在x ＝32处取得极大值3ln 2-，无极小值． …………………………7分(2) g(x)＝ln(2－x)＋(k ＋2)x ，g′(x)＝1x －2＋(k ＋2)， …………………………9分由题知g′(x)≥0在(－∞，1]上恒成立，即k≥12－x－2在(－∞，1]上恒成立，因为x≤1，所以2－x≥1，所以0＜12－x≤1，所以k≥－1.故实数k 的取值范围是[－1，＋∞)． …………………………14分18．（本小题满分16分）已知函数()f x ＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C ．（1）求过曲线C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围； （2）求()f x 在区间[]1,4-上的最值；（3）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，…………2分即过曲线C 上任意一点切线倾斜角的取值范围是3,0,42πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭…………4分 （2）()f x 的最大值为4(1)(4)3f f ==；()f x 的最小值为16(1)3f -=- …………………………9分 (3)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，…………………………12分解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． …………………………16分 19．（本小题满分16分）为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为3π的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．为了实现“以展养展”，现决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．第19题图BDCOAx【解】（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =百米， 由正弦定理得2432sin 3sin()sin 33OC CD x x ===ππ- …………………………4分 得33OC x =km ，43sin()33CD x π=-百米．…………………………5分 又圆弧DB 长为2()3x π- 百米． 所以43432sin [sin()2()]3333y a x a x x ππ=⨯+⨯-+- 2(3cos )3a x x x π=⨯+-+，(0)3x π∈，．…………………………7分 （2）记()2(3cos )3f x a x x x π=⨯+-+，则()2(3sin 1)2[2cos()1]6f x a x x a x π'=⨯--=⨯+-，………………8分 令()0f x '=，得6x π=． ……………………………………………10分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值． 即()2(3)66f a ππ=⨯． ………………………………………………14分答：（1）y 关于x 的函数解析式2(3cos )3y a x x x π=⨯+-+，定义域为 ： (0)3π，；（2）广告位出租的总收入的最大值为3)6a π元．………………………16分20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f(1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', …………………………2分 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f ,所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(.…………………………4分 (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a…………………………7分 )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- x(0)6π， 6π ()63ππ， ()f x '＋ 0 － ()f x递增极大值递减百度文库 - 让每个人平等地提升自我11 ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-=21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x x x x F ， 所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='x x x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F 即2ln 223)()(21-≥-x f x f . …………………………10分(3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ， 所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，………………………12分 令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ；当02>--k 即2-<k 时，k a a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在k a --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.………………………16分。