江苏省启东中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学（文）试题（考试时间120分钟，满分160分）一．填空题：1．命题{}:2135p A x a x a =+<<-非空集合，命题{}:(3)(22)0q B x x x =--≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围 ▲ 。
2．已知(1)5z z i =-+，则复数z = ▲ 。
3．对于任意的()12,0,x x ∈+∞，若函数()lg f x x =，满足1212()()()22f x f x x xf ++≤，运用类比的思想方法，当12,,2x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，试比较12cos cos 2x x +与12cos 2x x +的大小关系 ▲ 。
4．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是 ▲ 。
5．执行如图所示的程序框图,若输入10,n S==则输出的 ▲6．如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形第4题图 第5题图的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 ▲ ．7．某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为 ▲ 分钟．8．某单位有职工52人，现将所有职工按l 、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 ▲9．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，利用组中值计算200辆汽车的平均时速为 ▲ km/h ．10．设数列{}n a 满足：44=a ，0)2()2(11=-⋅--++n n n n a a a a )(*N n ∈，则1a 的值小于4的概率为 ▲ ． 11．观察下列等式：①cos 2α＝2cos 2α－1； ②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1； ⑤cos 10α＝m cos 10α－1280cos 8α＋1120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.第6题图第9题图第7题图可以推测，m －n ＋p ＝___▲_____.12．已知扇形的圆心角为2α（定值）， 半径为R （定值），分别按图一、二 作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为21tan 2R α， 则按图二作出的矩形面积的最大值为 ▲ .13.（1）给出下列四个命题：①设123,,z z z C ∈，若221223()()0z z z z -+-=，则13z z =； ②两个复数不能比较大小；③若,z C ∈则z z -是纯虚数； ④设12,z z C ∈，则 “12z z R +∈”是“1z 与2z 互为共轭复数”的必要不充分条件． 其中，真命题的序号为 ▲ ．14．△ABC 内有任意三点都不共线的2 014个点，加上A 、B 、C 三个顶点，共2 017个点，把这2 017个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为 ▲ ．二．解答题15. （14分）已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围。
16．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y ∈[1,6]，求满足a ·b ＞0的概率．17．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．18．已知复数2,2||z z z =满足的虚部为2。
（1）求复数z ；图一第12题图图二（2）设22,)(,z z z z -在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积； （3）若复数z 在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m 满足||,1||m z m 求=-的最值。
19. 据《扬子晚报》报道，2013年8月1日至8月28日，某市交管部门共抽查了1000辆车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员80人，下图是对这80人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．（3）若用分层抽样的方法从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中抽取一个容量为5的样本，并将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．20．数列{}n a 中，132a =，211n n n a a a +=-+. （1）求证：111111n n n a a a +=--- （2）设1231111n nS a a a a =+++⋅⋅⋅⋅+，2n >，证明：2n S <启东中学2013-2014学年度高二第二学期数学期中考试（文）答案一．填空题（5分⨯14=70分 ）1. (]6,92. 125i -3. 1212cos cos cos 22x x x x ++≥4. 305.5116、41π-7.72 8.18号 9.67 10．3811解析：m ＝29＝512，p ＝2×52＝50.另有：m ＋n ＋p －1 280＋1 120＝2， ∴n ＝－400.答案：96212.2tan2R α13. ④ 14.4029二．解答题15．解：p ：方程有负根m ＝－x 2＋1x ＝－(x +1x)≥2；﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分q ：方程无实数根∴1＜m ＜3 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题∴p 、 q 一真一假∴1＜m ＜2或m ≥3 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分 所以实数m 的取值范围为1＜m ＜2或m ≥3。
﹍﹍﹍﹍﹍﹍14分16．解：(1)设(x ，y )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2，2)，…，(6,5)，(6,6)， 共36个．﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 用A 表示事件“a ·b ＝－1”，即x －2y ＝－1.则A 包含的基本事件有 (1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个．﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分∴P (A )＝336＝112.﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分(2)用B 表示事件“a ·b ＞0”，即x －2y ＞0.试验的全部结果所构成的区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分 构成事件B 的区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，x －2y ＞﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分0}，如图所示．所以所求的概率为P (B )＝12×4×25×5＝425.﹍﹍﹍﹍﹍﹍14分17.证明：假设a b c d ，，，都是非负实数，因为1a b c d +=+=，所以a b c d ，，，[01]∈，，﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分所以2a c ac +，2b c bd +，﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分 所以122a cb d ac bd ++++=≤，﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分 这与已知1ac bd +>相矛盾，所以原假设不成立，即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数﹍﹍﹍﹍﹍﹍14分 18． 解：（1）设abi b a z bi a z 2)(,222+-=+=则则⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+111122222b a b a ab b a 或i z i z --=+=∴11或 ………………5分（2）当)1,1(),2,0(),1,1(,1,2)(,122---=--=+=C B A i z z i z i z 则时分则时当611221)3,11(),2,0(),1,1(,31,2)(,11122122 =⋅⋅=∴--------=--=--==⋅⋅=∴∆∆ABC ABC S C B A i z z i z i z S（3）由题知，i z +=11)1()1(,1||)1()1(,22=-+-∴=--+-=-+=d c z m i d c z m di c m 则设则复数m 在复平面内所对应的点为M 的轨迹为（1，1）为圆心，1为半径的圆 所以，12||,12||max min +=-=m m ………………5分19(3)因为血液酒精浓度在[70,80)范围内有12人，[80,90)范围内有8人，要抽取一个容量为5的样本，[70,80)内范围内应抽3人，记为a ，b ，c ，[80,90)范围内应抽2人，记为d ，e ，则从总体中任取2人的所有情况为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，恰有一人的血液酒精浓度在[80,90)范围内的情况有(a ，d )，(a ，e )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，共6种，设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A ，则P (A )＝610＝35.……16分20.证明：(1) (证法1)要证1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，只要证1a n ＋1－1＝1a n －1－1a n ＝1a n （a n －1），只要证a n ＋1－1＝a n (a n －1)，只要证a n ＋1＝a 2n －a n ＋1，根据已知条件，得证．………………7分 (证法2)∵ a n ＋1＝a 2n －a n ＋1＝a n (a n －1)＋1， ∴ a n ＋1－1＝a n (a n －1)，∴ 1a n ＋1－1＝1a n （a n －1）＝1a n －1－1a n . ∴ 1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1.………………7分(2) 由(1)知，1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，………………10分∴ S n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1－1＝2－1a n ＋1－1. ∵ a n ＋1－a n ＝a 2n －2a n ＋1＝(a n －1)2≥0，且a 1＝32>1，∴ a n ＋1>a n >1，∴ 2－1a n ＋1－1<2，即S n <2. ………………16分。