一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(0,1)[答案] B[解析] ∵点O(0,0)使x －2y ＋4>0成立，且点O 在直线下方，故点(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方－2－2t ＋4<0，∴t>1. 2.)若2m ＋2n<4，则点(m ，n)必在( ) A ．直线x ＋y －2＝0的左下方 B ．直线x ＋y －2＝0的右上方 C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方 D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 [答案] A[解析] ∵2m ＋2n≥22m ＋n ，由条件2m ＋2n<4知， 22m ＋n<4，∴m ＋n<2，即m ＋n －2<0，故选A.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0x ＋3y≥43x ＋y≤4所表示的平面区域的面积等于( )[解析] 平面区域如图．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝43x ＋y ＝4得A(1,1)，易得B(0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，|BC|＝4－43＝83. ∴S △ABC ＝12×83×1＝43.4不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥22x －y≤4x －y≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3[答案] D[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ，易求B(4,4)，A(1,1)，C(2,0) ∴S △ABC ＝S △OBC －S △AOC＝12×2×4－12×2×1＝3.5设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x x ＋y≥2y≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．5D ．7[答案] B[解析] 在坐标系中画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x x ＋y≥2y≥3x －6所表示的可行域为图中△ABC ，其中A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)，则目标函数z ＝2x ＋y 在点B(1,1)处取得最小值，最小值为3.6.已知A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x ，y)在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( ) A ．－1，－3 B ．1，－3 C ．3，－1D ．3,1[解析] 当直线y ＝x －z 经过点C(1,0)时，zmax ＝1，当直线y ＝x －z 经过点B(－1,2)时，zmin ＝－3. [答案] B7(在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( ) A ．95 B ．91 C ．88D ．75[答案] B[解析] 由2x ＋3y ＝30知，y ＝0时，0≤x≤15，有16个；y ＝1时，0≤x≤13；y ＝2时，0≤x≤12； y ＝3时，0≤x≤10；y ＝4时，0≤x≤9； y ＝5时，0≤x≤7；y ＝6时，0≤x≤6； y ＝7时，0≤x≤4；y ＝8时，0≤x≤3； y ＝9时，0≤x≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( ) A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元D ．27万元[答案] D[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x 吨，y 吨， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≤132x ＋3y≤18x≥0y≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝132x ＋3y ＝18，解得A (3,4)． ∵－3<－53<－23，∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.9．(文)(2010·山东省实验中学)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y≥0x≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( ) A ．a≥1B ．a≤－1C ．－1≤a≤1D ．a≥1或a≤－1[答案] C[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又kBC ＝－1，kAB ＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.10.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≥02y －x ＋1≥0x ＋y －4≤0，且有无穷多个点(x ，y)使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．4[答案] C[解析] 由题意可知，不等式组表示的可行域是由A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形及其内部部分．当z ＝x ＋my 与x ＋y －4＝0重合时满足题意，故m ＝1.11.当点M(x ，y)在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1) [答案] B[解析] 由目标函数z ＝kx ＋y 得y ＝－kx ＋z ，结合图形，要使直线的截距z 最大的一个最优解为(1,2)，则0≤－k≤kAC≤1或0≥－k≥kBC ＝－1，∴k ∈[－1,1]．12已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥x x ＋y≤2x≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )A ．0D ．1[答案] B[解析] 依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 在A 点和B 点处分别取得最小值和最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a y ＝x 得A(a ，a)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x ＝y 得B(1,1)， ∴zmax ＝3，zmin ＝3a.∴a＝13.13 (理)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥0y≤2x －1x ＋y≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m等于( ) A ．7 B ．5 C ．4D ．3[答案] B[解析] 画出x ，y 满足条件的可行域如图所示，可知在直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点A 处，目标函数z ＝x －y 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x ＋y ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋13y ＝2m －13，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ＋13，2m －13.将点A 的坐标代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，即m ＝5.故选B. 二、填空题14．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0x ＋y≤1x ＋2y≥1，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．[答案] 2[解析] 可行域为图中阴影部分△ABC ，显然当直线2x ＋y ＝z 经过可行域内的点A(1,0)时，z 取最大值，zmax ＝2.15．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.船型 每只船限载人数 租金(元/只) 大船 5 12 小船38[答案] 116[解析] 设租大船x 只，小船y 只，则5x ＋3y≥48，租金z ＝12x ＋8y ，作出可行域如图，∵－53<－32，∴当直线z ＝12x ＋8y 经过点,0)时，z 取最小值，但x ，y ∈N ， ∴当x ＝9，y ＝1时，zmin ＝116.16已知M 、N 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≥1x －y ＋1≥0x ＋y≤6所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大值是________． [答案]17[解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点D(5,1)与点B(1,2)的距离最大，所以|MN|的最大值为17.17. (理)如果直线y ＝kx ＋1与圆x2＋y2＋kx ＋my －4＝0相交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，点P(a ，b)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my≤0y≥0内任意一点，则b ＋1a －1的取值范围是________．[答案] ⎣⎡⎦⎤－1，－12[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与圆x2＋y2＋kx ＋my －4＝0相交于M 、N 两点，且M 、N 关于x ＋y ＝0对称，∴y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴k ＝1，而圆心在直线x ＋y ＝0上，∴－k 2＋⎝⎛⎭⎫－m 2＝0，∴m ＝－1，∴作出可行域如图所示，而b ＋1a －1表示点P(a ，b)与点(1，－1)连线的斜率，∴kmax ＝0＋1－1－1＝－12，kmin ＝－1，∴所求取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12.18．若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤my ＋nx －3y≥0y≥0(n>0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝________.[答案] －33[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33.19. 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A20.不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B21. 、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个x y O22 x=2y =2 x + y =2BA2x + y – 6= 0 =5x ＋y – 3 = 0 O yx AB C M y =2解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩p p p p作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D22. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D23已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D、jie ：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C24.已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3） 解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C25.已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919C -，作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大， ∴当l 过C 点时x y +最大为6319，但不是整数解，又由75019x <<知x 可取1,2,3， 当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-；当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩．26.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。