•另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的 无穷积分求解困难。 1 j t 1 f (t ) F ωe dω F f ( t ) 2
拉氏变换的优点

把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换， 经求解再还原为时间函数。 拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。 应用拉氏变换：
4．tnu(t)
作业

P250 4-1
第三节 拉氏变换的基 本性质
一．线性
例题：
已知 则 同理
二．原函数微分
证明：
推广：
电感元件的s域模型
设 应用原函数微分性质
三．原函数的积分
证明：
① ②
① ②
电容元件的s域模型
四．延时（时域平移）
证明：
例题 4-3-1
已知
五．s域平移
证明：
ai,bi为实数，m,n为正整数。
则A( s ) am ( s z1 )( s z 2 ) B ( s ) bn ( s p1 )( s p2 ) 其中p1 , p2 ,
( s zm ) ( s pn )
其中z1，z2， zm 称F ( s )的零点 pn 称F ( s )的极点
1．拉普拉斯正变换
则
2．拉氏逆变换
3．拉氏变换对
二、拉氏变换的物理意义



s j
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)， 或作相反变换。 时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。 变量s又称“复频率”。 拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。
est e t e jwt e t (cos wt j sin wt )
u(t)
m n时，先用长除法将分子中的高次项提出， 余下的满足m n部分按上法分解

举例4-8:
已知 10( s 2) 3)
求其逆变换
k3 k1 k2 解：部分分解法 F ( s ) （m n） s s 1 s 3
α
5. e 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标 ， 为非指数阶信号，无法 进行拉氏变换。
0系统：若某些信号在0点有跳变且已知f (0 ) 则 F (s)
def


0
f (t )e st dt
四．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
2.指数函数
3.单位冲激信号
全s域平面收敛
部分分式展开法 (1)极点为单实根的情况 ( p1
pn )
k1 m n时，F ( s ) s p1
分解
kn s pn
i
其中ki ( s pi ) F ( s) s p （留数）
f (t ) k1e
L1

p1t

kn e
pn t
０在S 平面内称收敛坐标
例题及说明
1.满足 lim f ( t ) e t 0σ σ 0 的信号成为指数阶信号 ；
t
2.有界的非周期信号的拉 氏变换一定存在；
3. lim t ne t 0
t
0
4. lime t e t 0
t
t2
同理 : e
t
六．尺度变换
证明：
时移和尺度变换都有时:
七．初值
初值定理证明
由原函数微分定理可知
八．终值
证明： 根据初值定理证明时得到的公式
f 0 lim f ( t ) f 0 lim f (t )
t
t
终值存在的条件:
sF s 在右半平面和 jω 轴 (原点除外)上无极点。
例4-6
求 e α t cosω0 t的拉氏变换
s 已知 : Lcosω0 t u( t ) 2 s ω02
所以 e
t
s α cosω0 t u( t ) 2 s α ω02 ω0 sinω0 t u( t ) s α 2 ω02
例如
九．卷积
时域卷 积定理
频域卷 积定理
证明：
交换积分次序
第四节
拉氏逆变换
一、系统的s域分析方法
用拉氏变换方法分析系统时，最后还要 将象函数进行拉氏反（逆）变换。 求解拉氏逆变换的方法有：
（1）部分分式展开法
（2）长除法 （3）留数法
二、部分分式展开法
A( s) am s m am1s m1 a0 设F ( s) （有理式） n n 1 B( s) bn s bn 1s b0

（1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含 在变换式里。
（2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”， “积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代 数方程。 拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。 利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。


第二节 拉氏变换的定义、 收敛域
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的 重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅 度的增长速率或衰减速率。
三．拉氏变换的收敛域
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
其中０与f t 有关， 过０ 的垂直线为收敛轴，
其中k1 sF ( s ) s 0 10( s 2)( s 5) ( s 1)( s 3) 100 3
s 0
解：k2 ( s 1) F ( s ) s 1 10( s 2)( s 5) s ( s 3) 20
s 1
k3 ( s 3) F ( s ) s 3 10( s 2)( s 5) s( s 1) 10 3
第四章 拉普拉斯变换 与S域分析
第一节 引言
傅里叶变换的局限性
•以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它 给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处， 傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有
些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析
受到限制；



f t d t