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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
对于单边拉氏变换 讨论：①有界的非周期信号的拉氏变换一定存在 满足

f (t )e t dt
其收敛坐标为 ，收敛区为全部s平面。
②单位阶跃信号 lim[u (t )e t ] 0
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
例9、试求下列F (s)所对应的f (t )的初值和终值。
s 2 2s 1 (1) F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3)
解 : (1)
s 2 2s 3 (2) F ( s) ( s 1)( s 2 0 2 )
E
t T 0 E 1 E L[(t T )u (t T ) Tu (t T )] 2 T s T E 1 E sT 1 1 sT 注意 e E e T s2 T s2 s f (t )u(t t0 ) E f (t t0 )u(t t0 ) 2 [1 (Ts 1)e sT ] Ts

令s j, 则上式为
Fb (s)


f (t )e st dt
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
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单边拉普拉斯变换 由于在实际问题中所遇到的大部分信号都是因果的， 即f(t)=0(t<0)
st 定义单边拉式正变换为 F (s) 0－ f (t )e dt

f (t )e jt dt
意味着f(t)在趋于∞时需收敛，即
lim f (t ) 0
at 如函数 f (t ) e (a 0) 的傅里叶变换存在
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
2 傅里叶变换不存在时
如函数 f (t ) e (a 0)的傅里叶变换不存在
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0


右半平面
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
由以上分析可知，由的数值可将s平面 划分为两个区域：
j
收敛区
0

收敛轴

收敛区：使 f ( t )e t 满 足 绝 对 可 积 条 件 的 值 的 范 围 称 为 收 敛 区 ， 在收敛区内， f ( t )拉 氏 变 换 存 在 ， 在 收 区 敛外 ， f ( t )拉 氏 变 换 不存在。
变换域
Z域
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
一 拉普拉斯变换 以下，从傅里叶变换出发引出拉普拉斯变换 1 傅里叶变换存在的条件
函数f(t)若满足下列绝对可积条件 则函数f(t)存在傅里叶变换



f (t ) dt

F ( j )
t 或t
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
7、卷积定理
若L[ f1 (t )] F1 (s), L[ f2 (t )] F2 (s) 若L[ f1 (t )] F1 ( s), L[ f 2 (t )] F2 ( s) 1 则 L [ f ( t ) f ( t )] [ F1 ( s) F2 ( s)] 则L[ f1 (t ) f 2 (t )] F1 (s) F2 (s) 1 2 2 j
sLI L (s) LiL (0)
其中，iL (0) 是电流 iL (t ) 的初始值，如果其为0，则
VL (s) sLI L (s)
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
6、时域积分性质
若L[ f (t )] F (s)
则L[
t
0
t
0
收敛区为s平面的右半平面。
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
1 u (t ) s (t ) 1
常见函数的拉式 变换如右，这6对 变换对需牢记
1 e s n! n t n 1 s
t
1 t 2 s
sin t 2 s 2
s cos t 2 s 2
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
二 拉普拉斯变换的性质
1、线性性质 若L[ f1 (t )] F1 ( s )，L[ f 2 (t )] F2 ( s ) 则L[ Af1 (t ) Bf 2 (t )] AF1 ( s ) BF2 ( s ) 其中A、B为实常数
例9、LTI系统的零状态响应
r (t ) e(t ) h(t )
得： R( s ) H ( s) E ( s)
拉式变换
R(s) E(s) H (s)
此即为系统函数
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
8、初值定理 设函数f (t )及其导数f (t )可进行拉式变换， 则f (t )的初值为 f (0) lim f (t ) lim sF ( s)
说明： ①s是复参量，s j, F (s)是以s为自变量的复变函数
②积分下线定为0 ，包括了 (t )，从而无需计算0-到0+的跳变
③拉氏正反变换的简记形式 F ( s ) L[ f (t )] 或 f (t ) L1[ F ( s )] 或
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f (t ) F ( s ) F ( s ) f (t )
t 0 s
9、终值定理 设f (t )及f (t )可进行拉式变换，且 lim f (t )存在，
t
则f () lim f (t ) lim sF ( s)
t s 0
如不满足此条件，则终值定理 不成立，无需计算
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F(S)的所有极点都位于s的左半 平面（包括原点处的单极点）
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析 例5、求右图所示波形的拉式变换
E 解 : f (t ) t[u (t ) u (t T )] T E E L[ f (t )] L[tu (t )] L[tu (t T )] T T
f (t )
例4、求L[cos t ]
1 1 1 jt jt jt jt 解：L[cos t ] L[ (e e )] L[e ] L[e ] 2 2 2 1 1 1 1 s 2 2 s j 2 s j s 2
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
4、S域平移性质 若L f t F (s) 则L[e t f (t )] F ( s )
例6、求L[et sin t ]和L[et cos t ] 因为 sin t 2 s 2
F ( s) f (0) f (t )dt ] + s s
1
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
例8、已知流经电容上的电流，其拉式变换为 L[iC (t )] IC (s)， 试求电容电压的拉式变换 VC (s)。 1 t 解：因为：vC (t ) iC ( )d C 1 t 所以：VC ( s ) L[vC (t )] L[ iC ( )d ] C 1 1 1 IC (s) iC (0) Cs Cs 1 1 0 1 I C ( s ) vC (0) 故原式 因 iC (0) iC ( )d Cs s 其中，iC 1 (0) 是电容两端起始电荷量，如果其为0，则 1 VC ( s ) I C ( s) sC
df (t ) 则L[ ] sF ( s ) f (0) dt
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
例7、已知流经电感上的电流，其拉式变换为 L[iL (t )] I L (s)， 试求电感电压的拉式变换 VL (s)。
diL (t ) 解：因为：vL (t ) L dt diL (t ) 所以： VL ( s ) L[vL (t )] L[ L ] dt L[sI L (s) iL (0)]
解得L[e s 同理由 cos t 2 s 2 得L[e
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t
sin t ] 2 s 2
s
t
cos t ]
s 2
2
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第四章 拉普拉斯变换及s域分析
5、时域微分性质
若L[ f (t )] F (s)

dt e ( s )t dt
0


0
1 s
lim e ( s )t lim e ( )t e jt
t t
lim e t e t 要想收敛，必须 ，此即为收敛域。
t
收敛轴
j
0
j
收敛坐标的 右半平面
收敛坐标的

第四章 拉普拉斯变换及s域分析
2、尺度变换
若L f t F s
Re[s ] 0 a 0, Re[s ] a 0
注意 f (t )u(t t0 ) f (t t0 )u(t t0 )