镇海中学2018学年第二学期高一年级数学期末试卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图是一个正四棱锥,它的俯视图是 A. B. C. D.
2.已知点(1,a)(a>0)到直线l :x+y-2=0的距离为1,则a 的值为 A.2 B.2-2 C. 2-1 D.2+1
3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,异面直线AB 1与BC 1所成的角是
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
4.在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=5,BC=4,CD=2,则梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为
A.π52
B.π3116
C. π3
100 D.3)10428(π+ 5.已知直线倾斜角的范围是]3
2,2()2,3[ππππα ∈,则此直线的斜率的取值范围是 A.]3,3[- B.),3[]3,(+∞--∞ C.]3
3,33[- D. ),33[]33,(+∞--∞ 6.正三角形ABC 的边长为2cm,如图,△A'B'C'为其水平放置的直观图,则△A'B'C'的周长为
A 8cm B.6cm C.)62(+cm D. )322(+cm
7.某几何体的三视图如图所示,其外接球体积为
A.π24
B.π68
C.π6
D.π6
8.已知m,n 表示两条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,给出下列四个命题 ①α∩β=m,n ⊂α,n ⊥m,则α⊥β
②α⊥β,α∩γ=m, β∩γ=n,则m ⊥n
③α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则m ⊥α;
④m ⊥α,n ⊥β,m ⊥n,则α⊥β
其中正确的命题个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
9.若实数xy 满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧-≥-≤+≥130y x y x y ,则z=2|x|-y 的最小值是
A.1-
B.0
C.1
D.2
10.已知圆1Γ与2Γ交于两点,其中一交点的坐标为(3,4),两圆的半径之积为9,x 轴与直线y=mx(m>0)都与两圆相切,则实数m= A.815 B.47 C.532 D.5
3 非选择题部分(共110分)
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
11.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,则该圆柱的表面积为_____________,体积为_____________.
12.若直线y=kx+1-2k 与曲线y=21x -有交点,则实数k 的最大值为____________, 最小值为_____________.
13.若过点(1,1)的直线l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长最短,则直线l 的方程是______________,此时的弦长为_____________.
14.已知点(2,1)和圆C:x 2+y 2+ax-2y+2=0,若点P 在圆C 上,则实数a=_________,若点P 在圆C 外,则实数a 的取值范围为_______________.
15.异面直线a,b 所成角为3
π,过空间一点O 的直线l 与直线a,b 所成角均为θ,若这样的直线l 有且只有两条,则θ的取值范围为_______________
16.在棱长均为2的三棱锥A-BCD 中,E,F 分别为AB,BC 上的中点,P 为棱BD 上的动点,则 △PEF 周长的最小值为______________.
17.在三棱锥P-ABC 中,AB ⊥BC,PA=PB=2,PC=AB=BC=22,作BD ⊥PC 交PC 于D,则BD 与平面PAB 所成角的正弦值是_____________.
三、解答题:本大题共5小题,共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分14分)正四棱锥P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 为PC 中点, (I)求证:PA ∥平面BDE;
(Ⅱ)求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值
19.(本题满分15分)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=2
(I)过原点O 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2,求直线l 的方程
(Ⅱ)过圆C 外的一点P 向圆C 引切线PA,A 为切点,O 为坐标原点,若|PA|=|OP|,求使|PA|最短时的点P 坐标
20.(本题满分15分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,AD ⊥AB,AB ∥DC, AD=DC=AP=2,AB=1,点E 为棱PC 的中点
(I)求证:BE ⊥DC
(Ⅱ)求直线PC 与平面PDB 所成角的正弦值.
21.(本题满分15分)如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点,E 在CC 1上,且
CE=2C 1E
(I)求证:AC 1⊥平面A 1BD;
(Ⅱ)在线段DD 1上存在一点P,DP=AD 1,若PB 1∥平面DME,
求实数λ的值
22.(本题满分15分)已知点A(10),B(4,0),曲线C 上任意一点P 满足|PB|=2|PA|
(1)求曲线C 的方程;
(Ⅱ)设点D(3,0),问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E,F,无论直线l 如何运动,x 轴都平分∠EDF,若存在,求出Q 点坐标,若不存在,请说明理由。