结论： 内力的力矩矢量和为零。
5.2.2 刚体定轴转动转动定理
第 k个质元 Fk f k mk ak
切线方向
rk
fk
Fk
Fk f k mk ak
在上式两边同乘以 rk 对所有质元求和
k
Fk rk f k rk mk ak rk mk rk rk
A
A
A
B
B
B
讨论: 说说日常生活中刚体平动的例子
平动的运动学规律:
rB rA AB
rA rB vA vB
z M
rB rA
B B 1 A
B2 A2
B3
A3
Bn
An
A1
a A aB
x
O
y
刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动
讨论：
1.匀加速转动的角量关系:
当 c
0 t 1 2 与质点的匀加速直 0 0 t t 线运动公式相似 2 2 2 z 0 2 ( 0 )
v
2.角量与线量的关系:
v rM
O
刚体
rM M θ
2. 刚体绕定轴的转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 _____ 刚体转动 转轴固定不动 — 定轴转动 转动的运动特点: 转角相同,位移不同.角量相同,线量不同 I 定义角量描述转动 3. 刚体一般运动 例: 空间旋转,滚动
z
P

刚体一般运动 = 质心平动 + 绕质心转动
II
5.1.3 刚体定轴转动的角量 1.角坐标: 2.角位移:
物理意义:
转动惯性的量度 (2)质量分布 (3)转轴的位置
确定转动惯量的三个要素:(1)总质量
J 与刚体的总质量有关 例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 z L 2 L 2 M 1 2 J 0 x dx 0 x dx ML L 3 M O J铁 J木 dx
L x
J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J z' ⇒ 刚体绕任意轴的转动惯量 J z ⇒ 刚体绕通过质心的轴
L ⇒ 两轴间垂直距离
5.2.4 转动定律的应用举例 例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N
an rM
2
dv a rM dt
5.2 力矩
5.2.1 力矩 力
力矩
刚体绕定轴转动微分方程
质点获得加速度 刚体获得角加速度
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
1.力对O点的力矩 大小: 方向:
Mo
O .
M O rF sin
右手螺旋法则确定
矢量表示: M O r F
r
F

特别：当力的作用线通过o点时，对O点力矩为零 作用: 可使物体绕过O点的一转轴产生转动，且转轴方向 就是力矩的方向。
（1）力F 在垂直于轴的平面内 F F
大小: 方向: 矢量表示:
2. 力 F 对z 轴的力矩
力乘力臂 切向分力乘r
M Z r F
M z ( F ) F r sin F h Fτ r F// z 右手螺旋法则确定
Chapter 5.
刚体力学基础
Xi’an Jaotong University
Introduction
主 题
刚体的转动定理, 转动动能, 角动量
研究方法
特殊质点系 角量代替线量 牛顿定理为基础
转动定理
转动动能 角动量
Xi’an Jaotong University
5.1 刚体和刚体的基本运动
5.1.1 刚体的概念 在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。 说明: 1.理想化模型 2.特殊的质点系─物体质点间的距离保持不变 讨论: 你认为哪些东西可以看作刚体 5.1.2 刚体的运动 1. 刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内 所作的任一条直线都始终 保持和自身平行
k k k
Fr f r
内力矩之和为0
( mk rk )
2
转动惯量 J
刚体转动定理
M J
M J
与牛顿第二定律比较： M F , J m, a
5.2.3 转动惯量 定义
J mk rk 质量不连续分布
2 k
r
J r 2dm
V
质量连续分布
J 0 R dm 0 R 2dl
2 L 2 πR
dl R O m
R 0 dl 2πR 3
2
2 πR
m mR 2 2πR
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
R dr r
m 2mr dm ds 2 2πrdr 2 dr πR R
m
O
F
（2）力F 不在垂直于轴的平面内 分解:
F// 对该转轴无力矩；F的力矩：
F F// F
h

r
A

Fn
F
M Z r F
过转轴的力和平行于转轴的力都不会对该转轴产生力矩.
例:试证两个质点间相互作用的内力对转轴的合力矩为零。
M i ri f ij
M j rj f ji
M ri fij rj f ji ri rj fij
因两叉积矢量夹角为零，所 以：
z
rj f ij j ri i f ji
M ri rj f ij 0
f (t )
f (t )
d f ' (t ) 3.角速度: dt d d 2 2 f " (t ) 4.角加速度:
dt dt
P θ
说明: 1.角速度，角加速度在本质上是矢量 2.角速度方向按右手螺旋法则定义。 3.角速度增加时，角加速度与其同向，否则，反向 4.定轴转动用正负号表达角速度(投影)方向。
2
m
R
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
J 与转轴的位置有关 z M O
J 0
L 2
z M x L
L
dx
O
L/2 2
dx
x
1 2 x dx ML 3
1 J L / 2x dx ML2 12
平行轴定理及垂直轴定理
z'
2
J z' J z ML
z M L C