立体几何经典题精选题重点复习题型篇
（一）平行的问题
一“线线平行”与“线面平行”的转化问题
（一）中位线法：当直线上没有中点，平面内有一个中点的时候，（如例1求证：PB//平面AEC P、B为顶点，平面AEC内E为中点）采用中位线法。
具体做法：如例1,平面AEC的三个顶点，除中点E夕卜，取AC的中点0,连接EQ再确定由直线PB和中点E、O D确定的PBD（连接PBD的第三边BD），在PBD中，E0为PB的中位线。
a
规范写法：a//b,a ,b , b//
例1如图，在底面为平行四边形的四棱锥P 求
证：PB//平面AEC ；
例2三棱柱ABC ABiG中，D为AB边中点。
求证：AG //平面CDB!;
【习题巩固一】
1. （2011天津文）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，0为AC中点M为PD
中点.（I）证明：PB//平面ACM
; A
B1
B
21. （2013年高考课标U卷（文））如图,直三棱柱ABC-ABG中,D是AB的中点.（1）证明
BC// 平面A i CD;
3. (2011 四川文)如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1 中，/ BAC=90° AB=AC=AA i=1,延长A i C i 至点P,使C1P = A1C1,连接AP交棱CC1于D. (I)求证：PB1 //
平面BDA1；
（二）平行四边形法：当直线上有一个中点（如例1证明：FO//平面CDE ；O为中点）采用平行四边形法。
具体做法：FO先与E连接（原因是ECD的三个顶点E、C D中只有E与已知平行条件EF//BC 有关）,再与ECD的另两个顶点CD的中点M相连，构成平行四边形FOE（原因是EF//OM,
EF=OM,从而FO//EM。
规范写法（如图）：
EF//GH,EF GH , EFGH 是平行四边形EH//FG,EH , FG , EH //
例1【天津高考】如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE 1
是等边三角形，棱EF //丄BC . （1）证明：FO//平面CDE ;
例2 (2013年高考福建卷(文))如图,在四棱锥P ABCD, AB//DC若M为PA的中点,求证：DM //面PBC ;
例3(2010陕西文)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD,
AP=AB, BP=BC=2, E, F 分别是PB,PC 的中点.(I )证明：EF//平面FAD; (II)若H 是AD 的中点，证明：EA//平面PHC
【习题巩固二】
1. 【2010 •北京文数】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直
EF//AC，AB=/2 ,CE=EF=1 (I)求证：AF// 平面BDE
2. (2013年高考山东卷(文))如图,四棱锥P ABCD中，AB// CD, AB 2CD ,E为
PB的中点(I )求证:CE //平面PAD •
J
3. （2012广东）如图5所示，在四棱锥P ABCD 中，AB 平面PAD , AB//CD,PD AD , 1
E 是PB 中点，
F 是DC 上的点，且DF AB , PH 为 PAD 中AD 边上的高。
（3）证明： 2
EF //平面 PAD .
“线面平行”与“面面平行”的转化问题 中截面法：当直线上有两个
中点（如例1证明：MN //平面BCC^ ）采用中截面法，如例 1 只要做出 平
面BCC^的中截面。
具体做法：取 AC 中点P,连接MP NP ，则面 MNP//平面BCGB !
Tep2: // a// （面面平行 线面平行）; a 例1三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M,N 分别是AB ，AC 的中点.求证:
MN // 平面 BCC^ ;
// 【如下图①】
,aI b O,a',b' ,a//a',b//b // 【如上图②】
图5
,b// 或者 Tep1: a,b
例2 （2013年辽宁卷（文））如图,AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点.
（II ） 设Q 为PA 的中点，G 为 AOC 的重心，求证： QG//平面PBC.
【习题巩固三】
1.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ，E,F 分别为棱AB,PC 的
中点.⑵求证：EF II 平面PAD .
2.如图,长方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是AE 、CD ,的中点。
（I ）求证：MN //平面ADD 1A 1 ; #
B F A
E B C
D
3.（2012辽宁文科）如图，直三棱柱ABC A/B/C/，点M,N分别为A B和B’C，的中点。
（I ）
证明：MN //平面AACC ；
立体几何经典题精选题重点复习题型篇
）平行的问题参考答案
一•“线线平行”与“线面平行”的转化问题
（一）例1证明：连接BD AC BD=O连接E0,在PBD中，OD=OJB E0为PB的中位线，
EO//PB,又E0 面AEC, PB 面AEC , PB//面AEC
例2证明：连接BC1, B1C BC1 0，连接OD在AB C,中，OB OC, , OD为A C,的中位线，OD//AC,,又OD 面CDB1, AC1面CDB1，AC1//面CDB1
【习题巩固一】
1•证明：连接BD，MO ,在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M 为PD的中点，所以PB//MO。
因为PB 平面ACM，MO 平面ACM，所以PB//平面ACM。
2. 证明：连接AGAC AC1 O，连接OD在AB C1中，OA O。
，OD为B&的中位线，
OD// BC1,又OD 面CDA1, BC1面CDA1，BC1//面CDA1
3. 连结AB1 与BA1 交于点O,连结OD，v C1D //平面AAJA1C1 // AP，二AD=PD，又AO=B1O, •••OD // PB1, 又OD 面BDA1, PB1 面BDA1,：PB1 / 平面BDA1.
（二）例1证明：取CD的中点M 连接OM EM EF//OM, EF=OM FOEMfe平行四边形，从而FO//EM,又EM 面CDE , FO 面CDE , FO//面CDE
例2证明：取PB中点N ,连结MN , CN 在PAB中，M是PA中点，
1
• MN PAB , MN AB 3,又CD PAB , CD 3 • MN PCD , MN CD
2
• ••四边形MNCD 为平行四边形，二DM PCN
又DM 平面PBC , CN 平面PBC ••• DM P 平面PBC
例3证明：（I ）在厶PBC 中, E , F 分别是PB, PC 的中点，二EF// BC
又 BC// AD ••• EF / AD 又 T AD 平面 PAQEF 平面 PAD 二 EF//平面 PAD （II ）连接FH 易证EAFH 是平行四边形，所以EA//FH,从而得证。
【习题巩固二】
1. 证明：（I ）设AC, BD 交于点G 因为EF / AG 且EF=1, AG=1 所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF / EG
因为EG 平面BDE,AF 平面BDE 所以 AF//平面BDE
2. 证明：
取PA
中点M ，连
结MD , ME 1
因为E 是PB 的中点，所以ME //丄AB 。
2
所以四边形MDCE 是平行四边形,
CE // DM ,又 CE 面 PDA,DM 面 PDA , CE//面 PDA
3. 证明：取PA 中点M ，连结MD , ME 。
因为E 是PB 的中点，所以ME // 1 AB 。
因为DF // 1 AB ，所以ME// DF , 2 2
所以四边形MEDF 是平行四边形，
EF // DM ,又EF 面PDA, DM 面PDA , EF//面PDA
二. “线面平行”与“面面平行”的转化问题
例1略
例2连0G 并延长交AC 于M ，连接QM , Q0,由G 为A AOC 的重心，得M 为AC 中点. 由Q 为PA 中点，得QM //PC.又0为AB 中点，得OM //BC.
因为 QM n MO = M , BC n PC = C ,所以平面 QMO //平面 PBC.
因为QG.平面QMO ，所以QG /平面PBC.
// 1 // 因为CD -AB ，所以CE DM ,
2
1.思路：取PB的中点M，连接ME、EF,证明面MEF//面PAD
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2思路：取CD的中点Q,连接MQ、NQ，证明面MNQ//面AD DiA
3.证明：取AB的中点为P,连结MP NP T M ,N分别为A/B和B C的中点，
••• MP/ AA,NP// AC ,二MP//面AACC,NP//面A ACC , T MP NP P , •••面MP/面A ACC , T MN 面A ACC , /• MN/面A ACC .。