专题一 探究规律【典型例题】1. 观察下面三行数，2, -4， 8， -16， 32， -64，… ① -2， -8， 4， -20， 28， -68，… ② -1， 2， -4， 8， -16， 32，… ③ (1) 第①行第10个数是多少？(2) 第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3) 取每行第10个数，计算这三个数的和.2. 阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，12310?++++=经过研究，这个问题的一般结论是，其中n 是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：观察下面三个特殊的等式：将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你计算： （1）1123(1)2n n n ++++=+?)1(3221=+++⨯+⨯n n ()2103213121⨯⨯-⨯⨯=⨯()3214323132⨯⨯-⨯⨯=⨯()4325433143⨯⨯-⨯⨯=⨯2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯1011003221⨯++⨯+⨯（2）（3）3. 对于正整数，我们规定：若为奇数，则；若为偶数，则．例如，．若，，，，…，依此规律进行下去，得到一列数，，，，…，，…（为正整数），则 ，1232020a a a a ++++= ．4. “分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n 中黑点的个数分别是 个、个． 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n 个点阵中有 个圆圈． （2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．5．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下()13221+++⨯+⨯n n ()()21432321++++⨯⨯+⨯⨯n n n a a ()31=+f a a a ()2=af a (15)315146=⨯+=f 10(10)52f ==18=a 21()=a f a 32()=a f a 43()=a f a 1a 2a 3a 4a n a n 3=a各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层，将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)1232n n n +++++=．如果图1中的圆圈共有12层．（1）我们从上往下，在每个圆圈都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，… ，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们从上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，… ，则图4中所有圆圈中各数的绝对值之和为 ．【课后练习】1. 观察下列等式：0123431,33,39,327,381=====,根据其中规律可得01220203333++++的结果的个位数字是．2. 如图，将一个正方形纸片分割成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一个小正方形再分割成四个面积相等的小正方形纸片，如此分割下去．第6次分割后，共有正方形纸片_______个，第n 次分割后（n 为正整数），共有正方形纸片_______个．3. 观察下列图形：第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形第n 层第3层第2层第1层图4图3图2图1-18-20-19-21-225-2364321… … … ……… … … ……… … … …… … … … ………… … … …它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形中的五角星的个数为__________，第n个图形中的五角星(n 为正整数)个数为________________(用含n 的代数式表示)．4. 定义一种对正整数n 的“C 运算”：①当n 为奇数时，结果为3n ＋1；②当n 为偶数时，结 果为（其中k 是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，n ＝66时，其“C 运算”如下若n ＝26，则第2019次“C 运算”的结果是 ．5.将一列有理数1-，2，3-，4，5-，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C 的位置）是有理数4. 那么，“峰4”中C 的位置是有理数__________，有理数2018应排在A ，B ，C ，D ，E 中_________的位置．6. 一组按规律排列的数：2,0,4,0,6,0，…，第n 个数是 （n 为正整数）.7. 将从 1 开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第 m 行， 第 n 列的自然数 10 记为（3，2）自然数 15 记为（4，2）...... 按此规律，自然数 2020记为8. 如图：已知正方形的边长为a ，将此正方形按照下面的方法k n 2kn2-11-12A……………峰n峰2峰1进行剪拼：第一次，先沿正方形的对边中点连线剪开，然后对接为一个长方形，则此长方形的周长为_____；第二次，再沿长方形的对边（长方形的宽）中点连线剪开，对接为新的长方形，如此继续下去，第n次得到的长方形的周长为__________.专题二新定义【典型例题】1. 阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M 到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”．解答下列问题：（1）若点A表示的数为−3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M 表示的数为；（2）若点A表示的数为−3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为；（3）点A表示的数为−5，点C，D表示的数分别是−3，−1，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点.①设点M表示的数为m．若点M可以为点A与点B的“平衡点”，则m的取值范围是；②当点A以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点C同时以每秒3个单位长度t t>秒，求t的取值范围，使得点O可以为的速度向正半轴方向移动.设移动的时间为()0点A与点B的“平衡点”.2. 阅读下列材料：根据绝对值的定义，||x 表示数轴上表示数x 的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P 、Q 表示的数为1x ，2x 时，点P 与点Q之间的距离为PQ =12||x x -. 根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A 、B 表示的数分别是－4，8（A 、B 两点的距离用AB 表示），点M 、N 是数轴上两个动点，分别表示数m 、n .（1）AB = 个单位长度；若点M 在A 、B 之间，则|4||8|m m ++-= ； （2）若|4||8|m m ++-= 20，求m 的值；（3）若点M 、点N 既满足|4|6m n ++=，也满足|8|28n m -+=，则m = ； n = .3. 对于数轴上的A ,B ,C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.例如数轴上点A ,B ,C 所表示的数分别为1，3，4，此时点B 是点A , C 的“联盟点”.（1）若点A 表示数-2, 点B 表示的数2，下列各数32-，0，4，6所对应的点分别C 1，C 2 ， C 3 ，C 4，其中是点A ,B 的“联盟点”的是 ；（2）点A 表示数-10, 点B 表示的数30，P 在为数轴上一个动点：①若点P 在点B 的左侧，且点P 是点A , B 的“联盟点”，求此时点P 表示的数；②若点P 在点B 的右侧，点P ，A , B 中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P 表示的数 .4. 在同一直线上的三点A ,B ,C ，若满足点C 到另两个点,A B 的距离之比是2，则称点C 是其余两点的亮点（或暗点）．具体地当点C 在线段AB 上时，若2CACB=，则称点C 是[],A B 的亮点；若2CBCA=，则称点C 是[],B A 的亮点；当点C 不在线段AB 上时，若2CA CB =，称点C 是[],A B 的暗点．例如，如图1，数轴上点A,B,C,D 分别表示数1-,2,1,0，则点C 是A OB图1[],A B 的亮点，又是[],A D 的暗点；点D 是[],B A 的亮点，又是[],B C 的暗点．（1）如图2， M, N 为数轴上的两点，点M 表示的数为2-，点N 表示的数为4，则[],M N 的亮点表示的数是 , [],N M 的亮点表示的数是 ；[],M N 的暗点表示的数是 , [],N M 的暗点表示的数是 ；（2）如图3，数轴上点A 所表示的数为20-，点B 所表示的数为40，一只电子蚂蚁P 从B 出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t 秒． ① 求当t 为何值时，P 是[],B A 的暗点；② 求当t 为何值时，【课后练习】1. 对于数轴上的两点P ，Q 给出如下定义： P ，Q 两点到原点O 的距离之差的绝对值称为P ，Q 两点的绝对距离，记为POQ ．例如：P ，Q 两点表示的数如图1所示，则312POQ PO QO =-=-=．（1）A ，B 两点表示的数如图2所示．①求A ，B 两点的绝对距离；②若C 为数轴上一点（不与点O 重合），且2AOB AOC =，求点C 表示的数；（2）M ，N 为数轴上的两点（点M 在点N 左边），且MN =2，若1MON =，直接写出点M 表示的数．图2图1B P备用图3 图22. 点A 、B 、C 在数轴上表示的数是，且满足，多项式是五次四项式．（1）的值为 ，的值为 ，的值为 ．（2）已知点P 、Q 是数轴上的两个动点，点P 以每秒3个单位的速度向右运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒7个单位的速度向左运动：①若点P 从点A 出发，点P 和点Q 经过t 秒后，在数轴上的点D 处相遇，求t 的值和点D 所表示的数；②若点P 先从点C 出发，运动到点A 处，点Q 再出发，则点P 运动几秒后两点之间的距离为5个单位长度？3. 小迪在学习过程中，发现“数轴上两点间的距离”可以用“表示这两点数的差”来表示，探索过程如下：如图1所示，线段AB ，BC ，CD 的长度可表示为: AB = 3 = 4-1 ，BC = 5 = 4-(-1)，CD = 3 = (-1) - (-4)，于是他归纳出这样的结论：如果点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，当b >a 时，AB = b -a （较大数-较小数）．（1）尝试应用：① 如图2所示，计算：OE =__________，EF =__________；② 把一条数轴在数m 处对折，使表示-19和2019两数的点恰好互相重合，则m =______；（2）问题解决：a b c ，，2(3)270a b ++-=32321c xy cx xy +-+-a b c 图1DCBO1图2①如图3所示，点P表示数x，点M表示数-2，点N表示数2x+8，且MN=4PM，求出点P和点N分别表示的数；②在上述①的条件下，是否存在点Q，使PQ+QN=3QM？若存在，请直接写出点Q所表示的数；若不存在，请说明理由．P O NM图3。