如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b 2 = c 2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互为逆定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
设AB是△ABC中三边中最长边， 则有：
AC2+BC2<AB2 AC2+BC2=AB2 AC2+BC2>AB2
再见
问题：
如果直角三角形的两条直角边分别 为a、b，斜边为c,那么这三边a、b、 c有什么关系呢？勾股定理揭示了 直角三角形的边与边的关系，那么 如何证明这个定理呢？
学习目标：
1.会通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正 确性。 2.能通过实例应用勾股定理。
自学指导：
1. 阅读教材51-52页，试用两种方法表示大正方 形的面积，得出结论。 2.注意应将例题中的实际问题转化为数学问题， 抽象出直角三角形。
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 年希腊曾经发行了一枚纪念票。
华东师大版
初中数学八年级上册
相传2500年前，毕达哥拉 斯有一次在朋友家里做客时， 发现朋友家用砖铺成的地面中 反映了直角三角形三边的某种 数量关系．
学习目标：
1、会用数格子的方法求正方形的面积。
2、在直角三角形中，已知两边能求第三边。
自学指导：
1、阅读教材48-49页，探索勾股定理的推导 过程。 2、找出勾股定理的内容？
你能写证明过 程吗？
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
1 2 2 1 S梯形= (a+b)(a+b) = (a +b )+ ab 2 2 1 2 1 1 2 S梯形 = c +2 · ab = c +ab 2 2 2
AB AC2 - BC2
1602 1282
96米
答： 从点A穿过湖到点B有96米。
现学现用：
.如图，小方格都是边长为1的正方形， 求四边形ABCD的面积与周长.
E
H
5
3 2
F
2 5
13
G
假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按 照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2 千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6 千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆 点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
例题解析
例3 一个零件的形状如左图所示，按规定这 个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师 傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 C 零件符合要求吗？ C
13 D D 4 A B 5 12
A 3 B
思考:此时四边形ABCD的面积是多少?
练一练
解释“古埃及人画直角”的理论根据.
解：如图，设每两个结的距离为a（a>0）， 则AC=3a，BC=4a，AB=5a.
SP+SQ=SR P Q 图甲 图甲 图乙 1
R C
P的面积 Q的面积 R的面积
1 2
1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形A、B、C的 面积各为多少？ 面积有什么关系？
SP+SQ=SR P R Q
P
图乙 “补”
“割”
Q 图甲
图甲 图乙 1 9 P的面积 Q的面积 1 16 R的面积 2 25 SP+SQ=SR
是 ∠ _____0 ; A=90 ____
不是 ____ _____ ; ∠ _____ ; B=900 是 ____
像25,20,15,能够成为直角三角形 三条边长的三个正整数，称为勾股数.
挑战自我
1、请你写出三组勾股数；
2、一组勾股数的整数倍一定是勾股数吗？ 为什么？
例题解析
例2 设三角形⊿ABC分别满足下列条件,试 判断各三角形是否是直角三角形:
“弦图”
a
b b c
b
a
最早是由1700 1 多年前三国时 2 因 为(b a ) 4 ab c 2 期的数学家赵 2 爽为《周髀算 c 2ab +（b-a）2 = c2 经》作注时给 出的，他用面 即 2ab + b2 -2ab + a2 = c2 积法证明了勾 所以 a2 + b2 = c2 股定理
提示：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代 m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则 a=9,b=40,c=41,c最大。
1.能利用勾股定理和勾股定理逆定理解决 简单的实际问题； 2.在学习的过程中注意理论与实际问题的 联系；
3.通过学习提高同学们的空间想象能力.
B
C
1.了解下面题目，再自学课本 第57页例1；
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
伽 菲 尔 德 证 法
c2 = a2 + b2
例1 小丁的妈妈买了一部34英寸 （86厘米）的电视机。小丁量了 电视机的屏幕后，发现屏幕只有 70厘米长和50厘米宽，他觉得一 定是售货员搞错了。你能解释这 是为什么吗？
我们通常所说的34英寸 解：∵702+502=7400 或86厘米的电视机，是指 862=7396 其荧屏对角线的长度
所以根据前面的判定方法可知 , 以(1)、(2)两组数为 边长的三角形是直角三角形，而以组(3)的数为边长 的三角形不是直角三角形。
小试牛刀
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三 角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= 3
1、按要求作出53页的三角形，并观察是什么三 角形。 2、阅读教材53-54页，理解勾股定理的逆定理。
动手画一画
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： 3，4，4； 2，3，4； 3，4，5
（1）这三组数都满足a b c
2 2 2 吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
勾股定理的逆定理
A
∵AC 2 +BC 2= 3a 2+ 4a 2=25a 2 AB 2= 5a 2=25a 2 准备好了吗? 2 ∴AC 2 +BC 2=AB 从而 ACB=90
C
B
本节课你有什么收获?
作业：
1.教科书54页，习题14.1 第6题 2.（选做题）已知△ABC的三边分别为a,b,c， 且a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2(m>n,m、n是 正整数)， △ABC是直角三角形吗？说明理由。
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记
2 2
2
即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2 a2=c2 － b2
c a 2 b2
a c 2 b2
c
2
b
b2 =c2 －a2
b c a
2
a
例题分析
例1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a；
2.重点了解怎样利用课本 知识解决实际问题.
国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作
《周髀算经》中。 国家多年
小 结：
1、这节课你学到了什么知识？ 2 、运用“勾股定理”应注意什么问题？
3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
1、课本55页第2、3题。
2、查阅有关勾股定理的历史资料。
3.（选做） 已知等腰直角三角形 斜边的长为2cm，求这个三角形 的周长？
荧屏对角线大约为86厘米 ∴售货员没搞错
例2 如图所示，为了求出湖两岸的A、B两点间的 距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为 直角三角形．通过测量，得到AC的长为160米，BC 长为128米．问从点A穿过湖到点B有多远？ 解： 在直角三角形ABC中， AC=160米，BC=128米， 根据勾股定理可得
方法 小结
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
例题2 : 如图，将长为5.41米的梯子AC
斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子 上端A到墙的底端B的距离AB.（精确 到0.01米）
解: 在Rt△ABC中∠ABC=90゜,
X
古埃及人曾用下面的方法得到直角
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子 分成等长的12段,然后以3个结， 4个结，5个结的长度为边长， 用木桩钉成一个三角形，其中 一个角便是直角。
按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗？
1、了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性。 2、会通过三角形三边的数量关系来判断它是否为 直角三角形。
