就业 人口老龄化
24
人口的老龄化
中国 2000年 10% 2058年 23% 美国 1997年 12.7 2010年 13.5 德国 1990年 15.4 2010年 20.7 加拿大 1990年 11.4 2010年 14.4 日本 1990年 11.7 2010年 19.5
2100年 23.5 2025年18.5
1 25 625
1.70
1 30
900
1.65
1 35 1225
1.55
1
40
1600
1 50 2500
1.48 1.40
b0
X 1 1
60 65
3600 , 4225
Y 1.30, 1.26
B b1 b2
1 70 4900
1.24
1 75 5625
1.21
1 80 6400
1.20
解 将数据作散点图，知y与x关系近似抛物线，因此设 回归方程为
y= b0+b1x+b2x2+ε~N(0, σ2)
(1)
令x1=x, x2=x2, 则(1)式可写成
y= b0+b1x1+b2x2+ε~N(0, σ2)
(2)
这是一个二元线性回归模型, 由所给数据写出下面矩阵
20
1 20 400
1.18
则认为回归效果是显著的。
例 某种产品每件单价y(元)与批量x(件)之间的关系的一 组数据如下表
x 20 25 30 35 40 50 60 65 70 75 80 90 y 1.81 1.70 1.65 1.55 1.48 1.40 1.30 1.26 1.24 1.21 1.20 1.18
19
求y对x 的回归方程。
25
A~ (a1, a2 ,, an ) U
是实际问题中各因素的权数分配(归一化), 则
A~ R~ B~ (b1,b2 ,,bm )
称为各因素的模糊综合决策,并且
7
max{ b1, b2 ,, bm} bk
表示综合决策的最大可能是 bk 例 脑出血与蛛网下腔出血的鉴别，设要求鉴别的疾病
集（论域）U={u1, u2}={脑出血, 蛛网下腔出血}。症状集为 V={v1, v2，v3, v4, v5}={头痛, 呕吐,偏瘫, 脑膜刺激症, 瞳孔不 等大} 。根据医学知识得出V→U的模糊矩阵
i 1
yi )
这样a，b的估计可写成
aˆ
1 n
bˆ S xy
S xx
n i 1
yi
(1 n
n i 1
xi )bˆ
(4)
12
（3） 2 的估计（残差分析）
yi yˆi 称为 xi 处的残差，平方和
n
n
Qe ( yi yˆi )2 ( yi aˆ bˆxi )2
i 1
i 1
n
Q ( yi b0 b1x1 bm xm )2 i 1
达到最小, 其解为
bˆ0
Bˆ
bˆ1
(
X
X
) 1
X
Y
bˆm
18
其中
1
X
1
x11
x21
x1m
x2m
,
1 xn1 xnm
y1
Y
y2
yn
若在α显著性水平下，拒绝 H0: b1=b2=…=bm=0
称为残差平方和。由（3）、（4）得 Qe S yy bˆSxy
于是得到 2 的估计（残差分析）为
ˆ 2 Qe
(5)
n2
（4）回归效果显著性检验 检验假设H0：b=0。若
| t | | bˆ |
ˆ
S xx t (n 2) 2
(6)
成立，则H0被拒绝，即认为在α显著性水平下，回归效果 是显著的。
yˆ aˆ bˆx
由方程(2)、(3)、(4)得到
bˆ Sxy 18.9 1.08, Sxx 17.5
aˆ
1 n
n i1
yi
bˆ(1 n
n i1
xi )
9.49
16
故线性回归方程为 yˆ 9.49 1.08x
由方程(5)、(6)得到
| t | | bˆ |
ˆ
S xx 13.351 t0.005 (4) 4.6401
5
模糊综合决策模型
6
模糊综合决策是一类多因素综合决策问题,涉及到三种 因素:
(1) 论域(因素集) U={u1, u2, …, un}
(2) 决策集 V={v1, v2, …, vn} (3) 模糊变换 R~ X~ Y~, X~ U ,Y~ V 于是 (U ,V , R~) 构成一个综合决策模型。 当V为评价集时, 综合决策模型 (U ,V , R~) 便转化综合评判 模型。设
BT
45.5 1
63 1
79 1
95.75 1
112 1
xN (21,14,18,15.5,17,15)T
128T 1
aˆ
a u
(BT
B) 1
BT
xN
200..033696505035
4
xˆ(k 1) 479 .904179 e0.039553k 514 .904179
k
1
设观测数据如下：
xi x1 x2 - - - - xi - - - - xn yi y1 y2 - - - - yi - - - - yn
建立y关于x的回归方程。
（1）设y关于x的回归方程 yˆ aˆ bˆx
为（2）a，b的估计可根据下列方程组给出
n
n
n
na ( xi )b yi
i 1
1 90 8100
1.18
经济计算得
21
12
640
40100
X X 640 40100 2779000
40100 2779000 204702500
4.8572925 1011 ( X X )1 1.95717 1010
170550000
1.95717 1010 848420000 7684000
xˆ1 (k 1) [x0 (1) u ]eak u
a
a
残差分析, 残差计算公式为
e (x0 (k) xˆ 0 (k)) / x0 (k)
3
例 某地油菜发病率的部分数据如下:
x0=(35, 21, 14, 18, 15.5, 17, 15)
建立GM(1,1)预测模型
解 数据累加 x1=(35, 56, 70, 88, 103.5, 120.5, 135.5)
170550000 7684000
71600
1 1.41918
10 11
Bˆ
bˆ0
bˆ1 bˆ2
(X
X )1
X52236 0.00012507
于是得到回归方程为
yˆ 2.19826629 0.02252236 x 0.00012507 x2
yˆ 0
t 2
(n
2)ˆ
1
1 n
(x0 x)2 S xx
(9)
14
（7）控制 若要求Y的观测值落在(y1, y2)内, 则对置信度为1-α, X的值 x的控制区间(x1, x2)由方程
y1 y2
aˆ aˆ
bˆx1 bˆx2
ˆZ 2
ˆZ 2
(10)
解出; bˆ 0 时, 为(x1, x2); bˆ 0 时, 为(x2, x1)。
从而可知回归效果是显著的。
将x0=8代入回归方程得 yˆ0 9.49 1.08 8 18.13
由(9)式得到第8年用电量y0的置信度为0.95的置信区间为：
yˆ 0
t
2
(n
2)ˆ
1 1 (x0 x)2
n
S xx
[18.13 4.6041 0.3384 1 1/ 6 20.25 /17.5
1
1 [x1 (3) x1 (2)] 2
1
B
1
[
x1
(n)
x1
(n
1)]
1
2
x0 (2)
x0 (3)
xN
x0 (n)
2
由此可以确定GM(1,1)中的参数a，u. 方程(1)的特解
x1 (t) [x1 (0) u ]eak u
a
a
我们约定x1(0)=x0(1),代入上式得到预测公式
灰色模型
1
设x0=(x0 (1), …, x0 (n)), 累加x1=(x1 (1), …, x1 (n))令x1 满足
dx1 ax1 u dt
(1)
(1)式称为GM(1,1), 其中a称为发展灰数, u称为内生控制灰 数,记
aˆ
a u
(BT
B) 1
BT
xN
1 [x1 (3) x1 (2)] 2
0.4 0.8
0.5 0.5
R~
0.7
0.2
0.2 0.7
0.5
0.1
8
病人在V上的表现为
A~ 0.3 0.4 0.5 0.4 0.3
判断结果为 归一化
A~ R~ 0.5 A~ R~ 0.56
0.4 0.44
按隶属度原则鉴别该病人患脑出血可能性大。
9
多元线性回归分析
10
第一节 一元线性回归
2
3
4
5
6
7
xˆ 1
35 53.6112 71.5006 88.6962 105.225 121.112 136.384
xˆ 0
35 18.6112 17.8894 17.1956 16.5288 15.8878 15.2717