导数的概念及其运算考纲导视（一）考纲要求：1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 1的导数．4．能利用给出的8个基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数[仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数]的导数.（二）考纲研读：1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数记为f ′(x 0)，它表示y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处切线的斜率，即k ＝ f ′(x 0)．导数源于物理，位移、速度的导数都有明显的物理意义．2．对于多项式函数的导数，可先利用导数的运算法则将其转化成若干个与8个基本初等函数有关的和差积商形式，再进行求导.基础过关（一）要点梳理：1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率：函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为fx 2－fx 1x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx. 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数:(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 fx 0＋Δx －fx 0Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0fx 0＋Δx －fx 0Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是 s ＝s (t )，那么该物体在时刻 t 0 的瞬时速度 v ＝s ′(t 0)；如果物体运动的速度随时间变化的规律是 v ＝v (t )，则该物体在时刻 t 0 的瞬时加速度为 a ＝v ′(t 0)。
3．函数f (x )的导函数:称函数f ′(x )＝lim Δx →0fx ＋Δx －fx Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤fx gx ′＝f xgx －fxg x g 2x(g (x )≠0)．6．复合函数的导数：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．（二）基础自测：1．已知函数 f (x )＝4π2x 2，则 f ′(x )＝答案：8π2x2．已知曲线y ＝42x 的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为 答案：13．一个物体的运动方程为 s ＝1－t ＋t 2，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是 米/秒答案：5考点突破考点一．导数的概念：【例1】设f (x )在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （ ）（1）x x x f x f x ∆∆--→∆2)2()(lim 000； （2）xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 000； （3）x x x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()2(lim 000（4）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)2()(lim 000。
A ．（1）（3） B ．（1）（2） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）（4）答案：A【互动探究1】()()()等于则可导在设xx x f x x f x x f x 3lim ,0000--+→（ ）A ．()02x f 'B ．()0x f 'C ．()03x f 'D ．()04x f '答案：D考点二．导数的运算：【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)． 思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x (ln x ＋1x)． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.【互动探究2】1.求下列各函数的导数：(1)y ＝11－x ＋11＋x； (2)y ＝cos 2x sin x ＋cos x ； (3)y ＝(1＋sin x )2； (4)y ＝ln x 2＋1. 解 (1)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫21－x ′＝－－x －x 2＝2－x 2. (2)∵y ＝cos 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x . (3)设u ＝1＋sin x ，则y ＝(1＋sin x )2，由y ＝u 2与u ＝1＋sin x 复合而成．因此y ′＝f ′(u )·u ′＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )．(4)y ′＝(ln x 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12(x 2＋1)－12·(x 2＋1)′＝x x 2＋1. 2．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于 ( )A ．e 2B ．e C.e1 D ．ln2 答案 B解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.考点三．导数的几何意义【例3】(2011年全国)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为____.答案：解析 ∵f ′(x )＝－2e －2x ，k ＝f ′(0)＝－2e 0＝－2，∴切线方程为y －2＝－2(x －0)，即y ＝－2x ＋2.如图，∵y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标为(23，23)，y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标为(1,0)，∴S ＝12×1×23＝13. 【互动探究3】 (2011 年江西)曲线 y ＝e x 在点 A (0,1)处的切线斜率为 答案：1考点四．过点求切线方程应注意该点是否为切点【例4】已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．[分析] (1)在点P 处的切线以点P 为切点．(2)过点P 的切线，点P 不一定是切点，需要设出切点坐标．[解析] (1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率k ＝y ′| x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0.∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0. ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0.∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2.故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.【互动探究4】已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．[解析] (1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为 y 0－－x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1， 又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12， 故所求直线的斜率为k ＝3×(14－1)＝－94， ∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0. ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.。