P
P
A
C
B
D
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件：
fC fC
fD 0 D 0
或写成 fC 左 fC 右
光滑条件： C C
或写成 C 左 C 右
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
一、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
P x 2.转角：横截面绕其中性轴转
w
动的角度。用 表示，顺时
f
C1
针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
w =f (x)
三、转角与挠曲线的关系： tg df
fmax
f (L) PL3 3EI
解：建立坐标系并写出弯矩方程 f
M
(x)
0
P(a
x)
(0 x a) (a x L)
a
P
L
x
写出微分方程的积分并积分
EIf
0
P(a
x)
(0 x a) (a x L)
EIf
1 2
P(a
x)2
C1
D1
EIf
1 6
P(a
x)3
C1x C2
D1x D2
应用位移边界条件求积分常数
f
EIf (0)
1 6
Pa3
C2
0
EI
(0)
1 2
Pa2
C1
0
a
P
L
x
(a ) (a ) C1 D1
f (a ) f (a )
C1a C2 D1a D2
C1
D1
1 2
Pa2
; C2
D2
1 6
Pa3
写出弹性曲线方程并画出曲线
f
(
x)
P 6EI
第十二章 弯曲变形
§12–1 引言 §12–2 挠曲轴近似微分方程 §12–3 计算梁位移的积分法 §12–4 计算梁位移的叠加法 §12–5 简单静不定梁 §12–6 梁的刚度条件与合理刚度设计
§12－１ 引 言
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
(a
P
6 EI
a3
x)3 3a 2 x
3a2
x
a3
(0 x a) (a x L)
最大挠度及最大转角
m
a
x
(a)
Pa 2 2EI
f
a
P
L
x
fmax
f
(L)
Pa 2 6EI
a 3L
§12-4 计算梁位移的叠加法
一、叠加法 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单
独作用于结构而引起的变形的代数和。
P
q 例2 按叠加原理求A点转角和C点
A
B
挠度。
C
a
a
P
=
解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表，
A
B
查简单载荷引起的变形。
+
PA
Pa 2 4EI
f
PC
Pa 3 6EI
q
A
B
qA
qa3 3EI
f
qC
5qL4 24 EI
A
P
q B
叠加
C
A PA qA
a
a
P
a2 (3P4qa) 12 EI
=
A
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解： 建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) P(L x)
f P
L
x
写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数
EIf M (x) P(L x)
EIf
1 2
P(L
物理方程——变形与力的关系
B
f
qL4 Bq8EI ; f BRB
RB L3 3EI
RB
补充方程
q0
qL4 RB L3 0 8EI 3EI
RB
3qL 8
B
求解其它问题（反力、应力、
变形等）
A L
f
A EI
L
A
=
=
C EA LBC
q0 x
B RB
q0 B RB
B RB
+
x)2
C1
EIf
1 6
P(L
x)3
C1x C2
EIf
(0)
1 6
PL3
C2
0
EI
(0)
EIf
(0)
1 2
PL2
C1
0
C1
1 2
PL2
;
C2
1 6
PL3
f
P
L
x
写出弹性曲线方程并画出曲线
f (x) P (L x)3 3L2x L3 6EI
最大挠度及最大转角
m
ax
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(
L)
PL2 2EI
fqC fdPC
0.5L qb2 (3L2 4b3 )db qL4
0
24 EIL
240 EI
例4 按逐段分析求和法说明。
L1
L2
P
A
C
f
Bx f
f f1 f2
=
L1 A 刚化AC段C
L1
+
L2
P 等价
B
L2
P 等价
L2
P
C
Bx
f1
f
L1
P L2
A
C
B
A
C
M Bx
刚化BC段
f
f2
f A EI
B
fC f PC f qC
+
5qa4 Pa3
q
24 EI 6EI
A
B
例3 按叠加原理求C点挠度。 解：载荷无限分解如图
q0
b
C
x
dx
dPq(x)dx2bq0 db L
x
由梁的简单载荷变形表，
0.5L
0.5L
查简单载荷引起的变形。
f
f
dPC
(dP
)b(3L2 4b3 48 EI
)
叠加
qb2 (3L2 4b3 )db 24 EI
（2）
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EIf (x) M (x)
§12-3 计算梁位移的积分法
1.微分方程的积分
EIf (x) M (x)
EIf (x) M (x)dx C1
EIf (x) M (x)dxdx C1x C2
2.位移边界条件
L
MA A L
A L
=
q0 Bx
§12-5 简单静不定梁
1、处理方法：变形协调方程、物理
方程与平衡方程相结合，求全部未
q0 知力。
B 解：建立相当系统
确定超静定次数，用反力
q0 代替多余约束所得到的结构—
B
—相当系统。
RB
A L
A A
+
=
q0 几何方程——变形协调方程
B RB
f B f Bq f BRB 0
(P1P2 Pn ) 1(P1 ) 2(P2 ) n (Pn )
f (P1P2 Pn ) f1(P1 ) f2 (P2 ) fn (Pn )
二、逐段分析求和法 要点：首先分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位 移，然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需 求之位移。
小变形
f
(1)
dx
§12-2 挠曲轴近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程 f M>0
f (x) 0
x
1 M z (x)
EI z
1
f (1
(x) f 2)
小变形
3 2
f (x)
f
M<0 f (x) 0
f ( x) M z ( x) EI z
x
f ( x) M z ( x) EI z