10
2、X与Y 的相关系数 定义 R( X , Y ) cov ( X , Y )
R( X , Y )
定理3
cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )
R X , Y 1
1, b 0; Y a bX , 且 R( X , Y ) 1, b 0.
x 1; x 1.
fY y


f x, y dx
y

y 1或y 0 时 fY y 0 7 5 y2 , fY y 2 0,
21 2 7 5 x ydx y 2 ; y 4 2
0 y 1; y 1或y 0.
8
八、原点矩与中心矩
其中k为正整数。特别的， 1 EX 对于离散随机变量： k ( X ) 对于连续随机变量： k ( X )
k x i p( xi ) i
定义1： 随机变量X 的 k 阶原点矩： k X E X k

k 定义2： X 的k 阶中心矩： k X E X E X
i X i i
j
E Y y j pY y j .
j
j
i

假定级数是绝对收敛的. （2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
即： E X
EX



xf x , y dxdy , E Y
3
pq2
4
pq3
5
q4
14
EX p 2 pq 3 pq2 4 pq3 5q 4 5 10 p 10 p 2 5 p 3 p 4
3．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 21 2 2 x y x y 1 f x， y 4 其它 0 1）求EX, EY 及 E(XY)； 2）求X与Y的边缘密度函数； 1 1 21 2 EX xf x, y dxdy dx 2 x x ydy 解：1） 1 x 4 1 21 x 3 x 7 dx 0; 1 8
七、某些常用分布的数学期望及方差
EX np, DX npq 0 -1分布：EX p, DX pq 二项分布：
q 1 Poisson分布 EX , DX 几何分布: EX , DX 2 p p ab (b a )2 均匀分布: EX , DX 2 12 1 1 指数分布: EX , DX 2
i
2
i
j
2
2
i
Y
j
j
i
j
连续型随机变量 X , Y ,
j
i
j
DX
2 x EX f X x dx

DY



2
x EX f x, y dxdy,
2
y EY

fY y dy
2 y EY f x, y dxdy .
12
X
2
0
2
二、计算题
kx a 0 x 1 (k , a 0) 1. 连续型随机变量的概率密度为 f ( x) 其它 0 又知 EX 0.75 ，求 k 和 的值。
解：由



k f x dx kx dx 1, 得 a 1 1, 0

1
a
E (XY )= 4/9
E( X )
P
1/3 2/3
,则 EX =
1/3
1/6
3. 随机变量的分布率为 P 0.4 0.3 0.3 ,则 E ( X ) -0.2 E(3 X 2 +5)= 13.4 4. 已知随机变量的分布列为P(X=m)=1/10, m＝2,4,…,18,20, 则 EX = 11 5. 对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率 为 p1 ，第二台仪器发生故障的概率为 p2 ．令X表示测试中发生 故障的仪器数，则 EX p1 p2


x EX y EY f x, y dxdy.
逆命题不成立。
定理2 若X与Y 独立，则： cov X , Y 0.
定理1 cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
注 设X与Y是任两个随机变量，
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 cov(X ,Y )
第三章 随机变量的数字特征
（一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X
x 2 xi x1 P p ( x1 ) p ( x 2 ) p ( x i )
则随机变量X 的数学期望为: E X
x p x
i i i

定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x , 则随机变量X的数学期望为 E X xf x dx
x EX

2
f ( x )dx
2
有关方差的定理： 定理1
推论：Db
DaX b a 2 DX
6
0; D X b DX ; D(aX ) a 2 DX .
定理2： 若X与Y 独立， D X Y DX DY
n n 推论：D Xi D X i i 1 i 1


x k f ( x )dx
特别的， 1 0; 2 DX
k ( X ) [ x E ( X )] p( xi ) 对于离散随机变量： k i i
对于连续随机变量： k ( X )
x E ( X )
kΒιβλιοθήκη f ( x )dx9
九、协方差与相关系数
15
2) x 1 时， 1 21 21 2 2 f X x f x, y dy 2 x ydy x x6 ; x 4 8


x 1 时，f X x 0 21 2 6 x x , fX x 8 0, 0 y 1 时，
1、X与Y 的协方差（或相关矩）：
定义 cov( X , Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}. 注 ⑴ 离散型随机变量：
cov X , Y xi EX y j EY p xi , y j .
i j



⑵ 连续型随机变量：
cov X , Y
xf X x dx ,

E Y yfY y dy.

2


yf x, y dxdy .
假定积分是绝对收敛的.
三、一维随机变量函数的数学期望
（1）设离散型随机变量X 的概率分布为：
X
x1
x2

xn

P ( X x i ) p ( x1 ) p ( x 2 )
p( x n )
则定义随机变量函数 Y g X 的数学期望为：
EY Eg X g xi p xi
i
（2）若X为连续型随机变量，其概率密度为 f x , 则定义随 机变量函数 Y g X 的数学期望为：
EY Eg X g x f x dx
a E( X ) 0.75 有 xf x dx 0 x kx dx 0.75, 又，

1
k 0.75, 得 a2
故由上两式解得k=3,a=2
13
2 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。若发现次品，则
立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查5个产品
都是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品
EY
1



yf x, y dxdy dx 2
1 x
1
1
21 2 y x ydy 4
7 2 7 8 x x dx ; 1 4 9 1 1 21 E XY xyf x, y dxdy dx 2 xy x 2 ydy 1 x 4 1 7 x3 x 9 dx 0; 1 4

3
四、二维随机变量的函数的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则 随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下：
E g X , Y g xi , y j p xi , y j ,
i j



假定这个级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则


7
二维随机变量的方差：
DY y EY p y y EY px , y .
D X xi EX pX xi xi EX p xi , y j ,
2
离散型随机变量 X , Y ,
5
六、方差与标准差
定义 X 的方差： DX E X EX 2
定义 X 的标准差：
X DX
D X xi EX pi
2 i 1
若X 为离散型随机变量，则有 若X 为连续型随机变量，则有
D X
2
方差的计算公式:
DX E X
E X
随机变量g(X,Y)的数学期望如下：
E g X , Y