第二章有心运动和两体问题斗转星移，粒子变迁，乃至整个宇宙的各种运动均受着“上帝”的安排----力的大小与距离平方成反比定律。

在此解析几何的空间曲线将一展风情。

【要点分析与总结】1有心力和有心运动()()rr r r F F F e r==r r r（1）有心运动的三个特征：平面运动动量守恒(0M ≡r)机械能守恒(E T V =+)（2）运动微分方程()()2()2r m r r F m r r F θθθθ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩&&&&&&可导出：()()()2222222221()21()(,r r u F r r m r h h m r r V E d u mh u u F u d r θθθθ⎧−=⎪⎪⎪=⎪⎨++=⎪⎪⎪−+==⎪⎩&&&&&&（为常量）（机械能守恒）比内公式〈析〉0L h m=是一个恒量，解题时应充分利用。

恰当运用会使你绝处逢生，可谓是柳暗花明又一村的大门。

2距离平方反比引力作用下的质点运动2222k F k u r=−=−可由比内公式导出：2220201cos()1cos()mh p k r mhe A k θθθθ==+−+−（220,,,mhp e pA A k θ==为由初始条件决定的常量）近日点：1m p r e =+远日点：1M pr e=−且422(1)2k E T V e mh=+=−可得半长轴长：221()212m M p k a r r e E=+==−−〈析〉用a 来求E ，进而得出运动规律，即便是开普勒三定律亦是须臾即得。

2距离平方反比斥力作用下的质点运动（粒子散射）的双曲线模型22k F r=（204Qqk πε=）可导出：01cos()pr e θθ−=−−散射角：12cos arc e ϕπ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠2004cos 2m Qq πευϕρ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠卢瑟福散射公式：24011()44sin 2d Qq d σϕπε=Ω（式中散射截面：2d d σπρρ=，立体角：2sin d d πϕϕΩ=将散射角公式两侧微分并代入即得散射公式）4质点运动轨道的讨论（1）圆轨道的稳定条件()()220,r r dU d U drdr =>（等效势能：()()222r r mh U V r=+）再利用()()r r dV F dr=−可导出：3n <（2n k F r=）（2）轨道的轨迹曲线000E E E <⎧⎪=⎨⎪>⎩(1)(1)(1)e e e <=>LL LL LL 椭圆抛物线双曲线〈析〉通过E 与0的关系，即可判断天体运动的轨迹曲线【解题演示】1质点在有心力()r F 的作用下运动，质点速度的大小为a r υ=，这里a 是常数。

已知0θ=时0r r =，速度与矢量间夹角为ϕ。

求质点的轨道方程。

解:r r re r e θυθ==+rrrr&&&且cot rr ϕθ=&&又因为dr r d θθ=&&故上式转化成cot drd rϕθ=积分并代入初始条件得lncot rr θϕ=即：cot 0r r e θϕ=2木星轨道的半长轴长度是5.2天文单位（1个天文单位为81.510km ×）。

求出（1）木星绕太阳运动的周期；（2）木星的平均轨道速率。

已知地球的平均轨道速率是29.8km s 。

解：（1）依开普勒第三定律:木星与地球的周期联系为：23((T a T a =木木地地（注:a 地为1.0天文单位）325.2(11.8611.861T T T == 木地地年（2）5.211.86R R T R R T υωυω===木木木木地地地地地木则: 5.2 5.229.813.0711.8611.86kmkm s s υυ==×木地顺便证明开普勒第二第三定律:（1）单位时间内扫过的面积22111222r d r h A dt θθ====&&dA dt（2）周期：222dt T dt dA dA dA ab dA h h h π=====∫∫∫∫322a k π==3月球的质量和半径分别是0.0123e m m =和0.273e R R =，其中,e em R 分别是地球的质量和半径。

试求（1）月球表面处的重力加速度；（2）若在月球表面发射火箭，使之脱离月球，则火箭的发射速度至少是多少？解：（1）22222(0.0123)0.01230.165 1.62(0.273)(0.273)e ee eG m Gm GM m g g s R R R === 地（2）脱离月球初动能：212GMmm mgR Rυ==得：32.3810m m V s s==× 4如果质点受到的有心力为223(r F m e r rµλ=−+r r，式中m 及µ都是常数，并且2h λ<。

试证其轨道方程可写为：()1cos ar k θ=+，式中222222222,,h k h Ak h k a e h λµµ−===，A 为积分常数，2h r θ=&。

4证明:依比内方程()2222232()()u d umh u u F m u u d µλθ−+==−+得:222222d u h u u d h h λθ−=−+积分得:2222u h u A h h λ=+−1cos ar e k θ==+式中:222222222,,h k h Ak h k a e h λµµ−===,A 为积分常数5一质点受遵循万有引力定律的有心力作用,作椭圆运动.1P 和2P 是过椭圆中心一直径的两端,12,υυ分别是质点在1P 和2P 处的速率.证明2120υυυ=.(0υ为短半轴处的速率)证明:2222201222k k k k m E a a a aυ=+=−+=220k maυ=()()22422412022244[[114k k k E E m a e a e m aυυυ=++==+− 即：2120υυυ=6设地球的半径为R ,质量是m ′.证明人造卫星在地球引力场中以椭圆轨道运动的速率由下试表示:υυ=.其中e υ=,是质点能脱离地球的逃逸速度,即第二宇宙速度;a 是卫星轨道半长轴的长度.证明:在半径为r 处:2122Gm m Gm mm E r aυ′′−==−得：V υ==（e υ=7太阳绕银河系中心运动,其轨道运动速度约为250km s ,离银河系中心的距离为30000光年.以太阳质量s m 为单位,估计一下银河系的总质量g m .解:设银河系的质量几乎全部集中在核心g m 上。

依212s g s Gm m m E rυ=+代入2s gGm m E r=−得：25212311(2.510)91036524 3.6106.67410g r m kgG υ−×××××××==×41112.6610 1.3410skg m =×× 8一质点质量为m ,在有心引力3kr −作用下运动.试问质点的能量E及角动量的大小L 分别为何值时,质点将按轨道b r ae θ=运动?这里,a b 均为已知常数.解：（1）依比内公式有：22232()d umh u u ku d θ−+=−得：222(1)d u kud mhθ=−积分得：u A =即：r =2π=±时r →∞,轨道在2πθ=±处开口,是抛物线型,故0E =。

（2）231()02r k m dr rυ∞+−=∫得：υ=又因为()b b b r r d ae e rab e e abe e dtθθθθυθθ===+r r r r r&&&得：b ae θυθ=故θ&须满足：b ae θ=得：θ=&此时:()b b b r r L r m ae e m ab e e abe e θθθθυθθ=×=×+rrrrr&&22b b b ma e mrae mrae θθθθθ====&&9一质量为m 的质点受两体谐振势()22r kV r =的有心力作用.初始时质点沿半径为r 的圆轨道运动.（1）求出质点圆轨道运动的速度0υr.（2）如果质点在轨道平面内受到一与速度成α角的大小为0I m υ=的冲量作用,求质点在此后的运动中离力心的最大和最小距离.（3）当0α=和απ=时,从物理上对你所得的结果分别作出解释.解：（1）()r d mrkrdrυ==&&因为:drrdr k r r dt dr m===&&&&&故有:krdrrdr m=&&积分得：0rυ==&（3）由质点和谐振动系统组成的系统能量守恒,当受到冲量I 之后2222011[(1cos )sin ]22E kr m υαα=+++2211(22cos )22kr kr m mα=+⋅+此时：20(1cos )(1cos )h r r r θυαα==+=+&当运动到极点处0r±=&但有：2211()22E kr m r θ±±±=+&22224221221(1cos )22mh kr r kr kr r α±±±±=++=+整理得方程：4224(32cos )(1cos )0r r r r αα±±−+++=可解出：2122[32cos (54cos )]2r r αα±=+±+得：r ±=（3）1*0α=时：,2r r r r r ±−+===此时:冲量的作用使速度在同方向变为2倍,由于此处0r =&，故此处为一极点：r r −=。

到达另一极点处,恢复到切向0υυ=，且002h r r υυ+==得：2r r+=2*απ=时：0,0r r r ±−+===同理,冲量作用使0υ=（后瞬间）,故此处为一极点r r +=到电达一极点时,恢复切向0υυ=,且：00h r υ−==得：0r −=10一彗星在近日点处离太阳的距离是地球轨道半径的一半（假设地球作圆轨道运动），在该处彗星的速率是地球轨道速率的二倍。

试从守恒定理出发。

（1）求出慧星轨道与地球轨道相交处慧星的速率（2）问此慧星的轨道是椭圆，抛物线还是又曲线？为什么？（3）它能脱离太阳系吗？解：（1）设地球绕日轨道半径为R,速率为0υ,此慧星质量为m ,速率为υ,有：222022112222s s s R R GM m GM m GM mm m m R R R υυυ−=−=−得：03042.4R km km s sυ== （2）此慧星的能量220212()022s s R GM m GM E m m R R υυ=−=−=即：其轨道是抛物线（3）在抛物线型轨道中：r +→∞即能脱离太阳系。