知人善教 培养品质 引发成长动力 （一）函数的单调性

知识梳理

1．函数单调性定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2∈D,

当x1

当x1 f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数，D叫f(x)单调递减区间．

2．函数单调性的判断方法：

（1）从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数，若图象是下降的，则此函数是减函数。

（2）一般地，设函数)(xfy的定义域为I．如果对于属于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值1x，2x，且21xx，则021xx

（1）则0-21xfxf1212120fxfxxxxx)(xf即在区间A上是增函数；

（2）则21xfxf1212120fxfxxxxx)(xf即在区间A上是减函数．

如果函数)(xfy在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做)(xfy的单调区间．

单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数

（3）复合函数单调性判断方法：设,,,,,yfuugxxabumn

若内外两函数的单调性相同，则yfgx在x的区间D内单调递增，

若内外两函数的单调性相反时，则yfgx在x的区间D内单调递减．

（同增异减）

3．常见结论

若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；

若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数)(1xf在其定义域内为减函数．

知人善教 培养品质 引发成长动力 【题型一、单调性的判断】

例、写出下列函数的单调区间

（1）,bkxy （2）xky， （3）cbxaxy2．

如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上， 它是增函数还是减函数？

【题型二、用定义法证明单调性】

例、定义法证明函数y=2x+3在),(的单调性.

知人善教 培养品质 引发成长动力 例、判断函数f（x）＝xx1在（0,1）上的单调性．

【变式训练1】证明函数12)(xxxf在),1(上是增函数．

【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。

【题型三、单调性的运用】

例、已知2()(34)21fxkkxk在R上是增函数,则k的取值范围 ．

知人善教 培养品质 引发成长动力 例、函数2)1(2)(2xaxxf在(,4]上是减函数,则求a的取值范围

．

【变式训练2】已知函数2()22,5,5fxxaxx上是单调函数，a的取值范围是 ．

【变式训练3】函数f（x）是R上的减函数,求f（a2－a＋1）与f（34 ）的大小关系 ．

【题型四、抽象函数的单调性及其应用】

例、已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m的取值范围是 ．

知人善教 培养品质 引发成长动力 例、设f（x）定义在R+上，对于任意a、b∈R+，有f（ab）＝f（a）＋f（b）

求证：（1）f（1）＝0；

（2）f（ 1x ）＝－f（x）；

（3）若x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上是减函数．

【题型五、复合函数的单调性】

例、求函数32)(2xxxf的单调递减区间。

求f(x)=542xx的单调区间

知人善教 培养品质 引发成长动力 课后作业：

一、选择题

1、函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是( )

A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，[1，＋∞)

C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)

2、当1||x 时，函数12aaxy 的值有正也有负，则实数a的取值范围是（ ）

A．31a B．1a C．311-a D．311-a

3、若函数)(xf在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数)(xf 在区间（a，c）上（ ）

A. 必是增函数 B. 必是减函数 C. 是增函数或是减函数 D. 无法确定增减性

二、填空题

4、函数32)(2mxxxf ,当 ),2[x时,是增函数,当]2,( 时是减函数,则f(1)=_____________

5、已知 )(xf在定义域内是减函数，且 0)(xf，在其定义域内判断下列函数的单调性：

①axfy)( ( a为常数)是___________； ② )(xfay( a为常数)是___________；

③)(1xfy 是____________； ④|)(|2xfy 是__________．

6、函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ．

7、若函数f(x)＝ 2x＋1，x≥1，5－x，x<1，则f(x)的递减区间是________．

三、解答题

8、讨论函数322axxf(x)在(-2,2)内的单调性。

9、设f(x)是定义在(0,+∞）上的增函数，f(2)=1 ，且 f(xy)=f(x)+f(y)，求满足不等式f(x)+f(x-3)≤2 的x的取值范围.

知人善教 培养品质 引发成长动力 （二）函数的奇偶性

知识梳理

1、函数奇偶性定义：

1、 一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

2、 一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf，那么就称函数xf为奇函数.

奇函数图象关于原点对称.

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数；

如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．

2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法

（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0或f(x)=-f(-x)，则f(x)是奇函数．

（2）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称．

（3）利用图像判断函数奇偶性的方法：

图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数．

3、函数奇偶性的性质：

奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．

4、（1）奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。若x是定义域中的一个数值，则x也必然在定义域中，因此，函数()yfx是奇函数或是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具奇偶性。

（2）若奇函数()fx在0x处有定义，则(0)0f。

（3）1()()()Fxfxfx为偶函数，2()()()Fxfxfx为奇函数。

（4）函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，而单调性是相对于定义域内某个区间而言的，是局部性质。

知人善教 培养品质 引发成长动力 【题型一、有关函数奇偶性的判断或证明的问题】

例、判断下列函数的奇偶性。

① xxxxf11)1()(, ②29)(xxf,

③22(0)()(0)xxxfxxxx ④2211)(xxxf

⑤21()|2|2xfxx

【方法技巧】判断函数的奇偶性，第一步是要先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，就是非奇非偶函数，如果对称，接下去再去找f(x)与f(-x)之间的关系，牢记好，在定义域内f(x)=f(-x)则为偶函数，f(-x)=-f(x)

则为奇函数。

【变式训练4】函数1()(0)fxxxx是( )

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

【变式训练5】若函数2yxbxc是偶函数，则有 ( )

A.,bRcR B. ,0bRc C. 0,0bc D. 0,bcR