二次函数综合专题训练1.1因动点产生的线段和差问题1.在坐标平面xoy 内，Rt △BOC 如图放置在坐标平面内，已知如图，tan ∠CBO=2，将Rt △BOC绕直角顶点O 顺时针旋转90°得到△EOA ．抛物线y=ax 2+bx+2经过A,B,C 三点。
（1） 求抛物线的解析式；（2） 设点P 在坐标轴上，△PAE 为等腰三角形，写出点P 的坐标。
（3） 在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使｜MB-MC ｜最大？（4） 在抛物线上是否存在点Q ，使△BCQ 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.2．（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式； （2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．x y O B CE A1.2 因动点产生的特殊三角形问题3. 如图,在平面直角坐标xOy 中，正方形OABC 的边长为4，边OA 在x 轴的正半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，点D 是OC 的中点，BE ⊥DB 交x 轴于点E ． （1）求经过点D 、B 、E 的抛物线的解析式；（4分）（2）将∠DBE 绕点B 旋转一定的角度后，边BE 交线段OA 于点F ，边BD 交y 轴于点G ，交（1）中的抛物线于M （不与点B 重合），如果点M 的横坐标为512，那么结论OF= 21DG 能成立吗？请说明理由；（4分）（3）过（2）中的点F 的直线交射线CB 于点P ，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q ，且使△PFE 为等腰三角形，求Q 点的坐标．（4分）4.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0），B （1.0），C （0， 3）。
（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
5．如图，已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D 。
（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式； （3）点E 为y 轴上的一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限。
①当线段AB PQ 43=时，求ta n ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标.1.3 因动点产生的特殊四边形问题6． (2014恩施)已知一个矩形纸片OABC ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图14，点()0,5A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛25,0C ．把矩形纸片沿对角线AC 折叠，使点O 落在点D ，AD 、BC 相交于点E ．（1）求CE 的长； （2）求直线AC 的函数解析式及点D 的坐标；（3）求经过点C 、D 、B 抛物线的解析式；（4）过点D 作x 轴的垂线，交直线AC 于点F ，点P 是抛物线上的任意一点，过点P 作x 备用图7.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8.9．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（4分）（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（4分）（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由。
（4分）备用图1.4 因动点产生的相似三角形问题10.如图，抛物线2y x bx c =-++的顶点为D （﹣1，4），与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）。
（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形；（3）若点E 在抛物线上，EF ⊥x 轴于点F ，以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似，试求出所有满足条件的点E 的坐标。
11．（2013恩施）如图所示，直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B 、C 和D （3，0）． （1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．12.如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象过点C （0，1），顶点为Q （2，3），点D 在x 轴正半轴上，且OD=OC ．（1）求直线CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．1.5 因动点产生的面积问题13.如图，OA=1，ta n∠CAO=3，将⊿AOC绕坐标原点O顺时针旋转90°，点C落到x轴上点B的位置.（1）求抛物线的表达式；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE 交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．14.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC 为边作平行四边形CBPQ ，设平行四边形CBPQ 的面积为S 1，△ABN 的面积为S 2，且S 1=6S 2，求点P 的坐标．15. 如图，把两个全等的Rt △ABO 和Rt △COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OC 在x 轴上.已知点A (1，2)，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过D 、A 、C 三点. （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P 为射线CD 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，若以点O , D ,M , P 为顶点的四边形是平行四边形，求出此时点P 的坐标； （3）将△COD 沿CA 方向平移,点C 的对应点为C '，且点C ' 始终在线段CA 上，设C ' 的横坐标为t , △COD 在平移过程中与△AOB 重叠部分记为S , 试求S 与t 的函数关系式.16.如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点. （1）求点A 的坐标;（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围.【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。
（1）∵4)2(422-+=+=x x x y ∴A(-2,-4)（2）四边形ABP 1O 为菱形时，P 1(-2,4)四边形ABOP 2为等腰梯形时，P 1(5452-，) 四边形ABP 3O 为直角梯形时，P 1(5854，-)四边形ABOP 4为直角梯形时，P 1(51256-，)（3）由已知条件可求得AB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l 的函数关系式是y=-2x①当点P 在第二象限时，x<0,△POB 的面积x x S POB 4)2(421-=-⨯⨯=∆ ∵△AOB 的面积84421=⨯⨯=∆AOB S ，∴)0(84<+-=+=∆∆x x S S S POB AOB ∵286264+≤≤+S ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤+≥286264S S 即⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-+≥+-2868426484x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≥22412232S x∴x 的取值范围是22322241-≤≤-x ②当点P 在第四象限是，x>0,过点A 、P 分别作x 轴的垂线，垂足为A ′、P ′ 则四边形POA ′A 的面积44)2(21)2(224+=⋅⋅-+⋅+=-='∆'''x x x x x S S S O P P A A P 梯形P A A PO ∵△AA ′B 的面积42421=⨯⨯='∆B A A S ∴)0(84>+=+='∆'x x S S S B A A A A PO ∵286264+≤≤+S ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤+≥286264S S 即⎪⎩⎪⎨⎧+≤++≥+2868426484x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≥21242223S x ∴x 的取值范围是21242223-≤≤-x（1） 点E 在y 轴上 （2） 理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． （2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，2OM =点D 在第一象限，∴点D 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，点A的坐标为( 抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(A ，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得32131242a a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得89a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线表达式为：2829y x x =--+（3）存在符合条件的点P ，点Q ．10分 理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又3OB =OB ∴边上的高为2依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线28299y x x =--+上28229m ∴--+=解得，10m =，2m =1(02)P ∴，，228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(2)Q，2Q ；当点2P的坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭．【答案】（1）由题意得 2b124c b 44⎧-=-⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩，解得：b 2c 3=-⎧⎨=⎩， ∴解析式的解析式为：2y x 2x 3=--+。