dWk、dW p均随 x 周期变化
y=0 dWk、dWp最大
o 能量 极大

x
y
能量 极小
27
y最大
dWk、dWp为 0
第十章 波动
物理学
第五版
说明：
dWk dWp
1 2
A sin [ (t ) ]dSdx
2 2 2
x
u
1)任意时刻，质元动能与势能相等，即动能与势能同 时达到最大或极小。即同相的随时间变化。这不同于 孤立振动系统。 2）在波传动过程中,任意质元的能量不守恒.其与邻近 的质元进行能量交换,表明了波的传播正是能量的传播.
t=5 t 0.2 0.4 o y/m t=0
19
x=1m处质点的运动方程为
第十章
波动
物理学
第五版
把u=1.0m/s，x=1.0m代入波动方程一般形式
并与x=1.0m处的运动方程作比较，得
波动方程为
第十章
波动
20
物理学
第五版
例5 已知一沿X轴负向传播的平面简谐波在t=0时的 波形曲线如图所示。试求该波的波函数 解 确定坐标原点的 振动初相0 Y A A/2 0 -A 由图知：t=0时，x=1m 处的质点位于平衡位置 处且向位移负方向运动 u=100m/s
第十章 波动
30
A
2
物理学
第五版
二. 能流和能流密度 能流（flow of energy):单位时间内垂直通过某一面积的 能量称为波通过该截面的能流。P dt时间内通过S的能量应等于体积Sudt中的能量
P wuS
平均能流：在一个周期内能流的平均值。
u
udt 能流密度:(波的强度) 通过垂直于波动传播方向单位面 积的能流。 I P w u 1 A2 2u 单位：瓦 米2
2 2 2
x u
) ]
平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值。
w 1 T

T
wdt 1
1 T
0

T
A sin [ (t
2 2 2 2
0
1) ]dt 2 2 A u 2
x
说明： 2 1、能量密度随时间周期性变化，其周期为波动 周期的一半。T 2、能量密度与振幅平方 A2 频率平方 2 和质量密度 均成正比。
关键问题：确定位于x 处的质点的振动初相(x)。
第十章 波动
2
物理学
第五版
波动是振动 相位的传播
u
a
沿波的传播方向,各质元 的振动相位依次落后。
传播方向
b
L
x
沿着波动传播的方向上相距L的两个质元间的 振动相位差如何？ 图中b点比a点的相位落后
a点的振动传到b点需时间：
在这段时间内a点的振动相位增加量（即旋转矢量 又转过的角度）为：
第十章 波动
3
物理学
第五版
沿波线上相距为一个波长的两点，振动的 相位差为2。
设原点振动表达式为：
第十章
波动
4
物理学
第五版
为坐标原点O点在t=0时刻的振动相位,设为已知.
P点与O点的相位差为：
P点的振动 初相位：
所以，p 点的振动方程为：
右行波
这就是平面简谐波的波函数，或称为波动方程
P点在t时刻的位移等于原点处质点
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
简谐波（harmonic waves): 波源的振动是简谐
振动，介质中的质元都作简谐振动。
平面简谐波（plane harmonic waves）
波பைடு நூலகம்是平面的简谐波。
等幅平面简谐波 ：介质不吸收波动的能量，介质中
的质元都作振幅相等的简谐振动
波线
平面简谐波
第十章 波动
第十章
波动
14
物理学
第五版
2）利用波函数研究质点的运动
任意 x 处质点的运动方程为：
该质点的速度和加速度分别为：
该质点的振动初相位为：
第十章 波动
15
物理学
第五版
2、建立平面简谐波的波函数
已知质元的振动情况，确定波函数。 难点是确定坐标原点的初相 例3 已知一沿X轴正向传播的平面简谐波的振幅A、 周期T、波速u。t=0时，x=0处的质点位于-A/2处且向 位移的负方向运动。试求该波的波函数。 解 确定坐标原点的振动初相0
第十章 波动
12
物理学
第五版
三、有关波函数的应用
均为已知.
1、已知波函数—即
1) 从波函数表达式中求: 利用比较法:将所给的波函数化为标准形 式,再与标准式比较,得到所求.
第十章 波动
13
物理学
第五版
例1
已知某一简谐波的波函数为：
求该波的波长、波速、周期、和坐标原点的振动初相 解 将原式变形为标准形式： 立即可得： y( x , t ) A cos[ ( t x ) ] 0 u
由图知：t=0时，x=0 处的质点位于A/2处 且向位移正方向运动
1
X(m)
第十章
波动
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物理学
第五版
0
π 3
, 2.4m, u 100(m/s)
T /u 0.024s
2/T 250/3(rad/s)
y ( x , t ) A cos[ ( t A cos[ 250 π 3 (t x 100 x u ) ) 0 ] π 3 ](SI)
S 2
P wuS
S
声学中声波的强度称为声强。
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。
第十章 波动
31
第十章 波动
24
x x
物理学
第五版
质元的振动速度
质元的动能为：
（可以证明）因为形变该质元的弹性势能为：
dWk = dWp
体积元内媒质质点的总能量为：
第十章
波动
25
物理学
波动质元： W k 第五版
W p
1
V A sin ( t u ) 2
2 2 2
x
第十章
波动
3)以上结论针对棒中的纵波得出,对其余的波虽能量的 具体形式不同,但动能势能同相位的结论仍成立.
第十章
波动
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物理学
第五版
EP
Ek
Y
t
Wp Wk x = x 0
(1/4) 2A2
o y
T t
第十章
波动
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物理学
第五版
能量密度：介质中单位体积内的波动能量。
w dW dV dW dSdx A sin [ ( t
该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x 的关系）
y
o
x
第十章
波动
11
物理学
第五版
3. t 与 x 都发生变化
y y
u
t
时刻
t t 时刻
O
x x
x
波在t时刻x处的相位经t时间后传到x+x处， 传播的距离是u t, x ut
总之：当t, x都发生变化时，波函数就描述了波 的传播过程。波函数就是普适性的振动方程.
26
物理学
第五版
dWk dWp
1 2
A sin [ (t ) ]dSdx
2 2 2
x
u
(1/4) 2A2
Wp W k
x = x0
• 物理意义
(1) 固定x
o y
u
T t
dWk、dWp均随 t 周期变化
dWk = dWp (2) 固定t
Wk
(1/4) 2A2
t = t0 Wp
1 x一定， 变化 t
y
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y ( x , t ) y ( x , t T ) （波具有时间的周期性）
第十章 波动
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物理学
第五版
波线上各点的简谐运动图
第十章
波动
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物理学
第五版
2 t 一定
2 πx x 变化 y A cos t
波面
1
物理学
第五版
一、（等幅）平面简谐波的波函数
波函数:能够描述波动中所有质点运动状态的函数 y=y(x,t) 右行波:沿x轴正向传播 介质中所有质点均作同频率、 左行波:沿x轴负向传播 同振动方向、同振幅的简谐振动。
Y
P X
x O 平面简谐波函数的一般形式应为：
y A cos t ( x )
第十章
波动
22
物理学
第五版
复 习
第十章
波动
23
物理学
第五版
15-3
波的能量和能流
波不仅是振动状态(相位)的传播，而且也是伴 随着振动能量的传播。 一、波的能量和能量密度 振动动能 + 形变势能 = 波的能量
O
x
dx
O y y dy 以棒中的纵波为例,有一 y A cos[ ( t x ) ] 平面简谐波： u 在x处取一体积元 dV dSdx, 质量为 dm dV dSdx
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章
波动
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物理学
第五版
例4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播.图 （a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方程。
解：t=0时此质点的相位