﹣2019 年辽宁单招文科数学模拟试题（一）【含答案】一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）1．设集合 A={x|x2﹣2x ﹣3＜0}，B={x||x ﹣2|≤2}，则 A ∩B=（）A ．（﹣1，0]B ．[0，3）C ．（3，4]D ．（﹣1，3）2. 已知 i 是虚数单位，则 z=+i （i 为虚数单位）所对应的点位于复平面内的（）A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 已知命题 P ：∃x0∈R ，sinx0+cosx0= ；命题 q ：函数 f （x ）=x ﹣（）x 有一个零点，则下列命题为真命题的是（ ）A. p ∧q B ．p ∨q C ．￢q D ．p ∧（￢q ）4．工商局对超市某种食品抽查，这种食品每箱装有 6 袋，经检测，某箱中每袋的重量（单位：克）如以下茎叶图所示．则这箱食品一袋的平均重量和重量的中位数分别为（ ）A ．249，248B ．249，249C ．248，249D ．248，2495．已知双曲线=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，右焦点 F2 与抛物线 y2=4x 的焦点相同，离心率为 e= ，若双曲线左支上有一点 M 到右焦点 F2 距离为 18，N 为MF2 的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于（ ） A ． B ．1 C ．2 D ．46. 运行如下程序框图，分别输入 t=45，t=﹣，则输出 s 的和为（ ）A ．﹣2017B ．2017C ．﹣2016D ．20167. 某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为 1，则该几何体的表面积为（）D．60A．65 B．C．8.设等比数列{an}的公比为q，前n 项和为Sn，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9.函数y=（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．10.在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，C=，若=（c﹣，a﹣b），=（a﹣b，c+），且∥，则△ABC 的面积为（）A．3 B．C．D．311.在三棱锥P﹣ABCD 中，PA=PB=PC=2，AC=AB=4，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．4π B．36π C．48π D．24π12．已知函数f（x）=a（x2+1）．若对任意a∈（﹣4，﹣2）及x∈[1，3]时，恒有ma﹣f（x）＞a2+lnx 成立，则实数m 的取值范围为（）A．m≤2 B．m＜2 C．m≤﹣2 D．m＜﹣2二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题纸上.）13．已知变量x，y 满足约束条件则z=x﹣2y 的取值范围是．14．若sin（﹣α）= ，则sin（﹣2α）= ．15．已知函数f（x）=，则f17.函数φ（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若把函数φ（x）的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2 倍，得到函数f（x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x+φ′）（0＜φ′＜）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ′）在[0，2π]上的单调递减区间．18.如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，在底面ABCD 中，AD∥BC，AD⊥CD，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 的中点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD= ，PB= ．（1）求证：平面PAD⊥底面ABCD（2）试求三棱锥B﹣PQM 的体积．19.随着手机使用的不断普及，现在全国各地的中小学生携带手机进入校园已经成为了普遍的现象，也引起了一系列的问题．然而，是堵还是疏，就摆在了我们学校老师的面前．某研究型学习小组调查研究“中学生使用手机对学习的影响”，部分统计数据如下表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数18 7 25学习成绩不优秀人数 6 19 25合计24 26 50参考数据：K2= ，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中使用手机且成绩优秀的7 位同学记为A 组，不使用手机且成绩优秀的18 位同学记为B 组，计划从A 组推选的2 人和B 组推选的3 人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A 组、另一人来自B 组的概率．20.已知直线l：y=﹣x+3 与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点P（2，1）．（I）求椭圆C 的标准方程；（II）若直线l′：y=﹣x+b 交C 于A，B 两点，且PA⊥PB，求b 的值．21.已知函数f（x）=lnx﹣x2+x（1）设G（x）=f（x）+lnx，求G（x）的单调递增区间；（2）证明：k＜1 时，存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）﹣＞k（x﹣1）[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C1：x+y=4，曲线为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2 的极坐标方程；（2）若射线l：θ=α（p＞0）分别交C1，C2 于A，B 两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+3|（1）求不等式f（x）＜3 的解集；（2）若不等式f（x）＜3+a 对任意x∈R 恒成立，求实数a 的取值．2019 年辽宁单招文科数学模拟试题（一）参考答案一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x﹣2|≤2}，则A∩B=（）A．（﹣1，0] B．[0，3）C．（3，4] D．（﹣1，3）【考点】1E：交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A、B，再根据交集的定义写出A∩B 即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x﹣2|≤2}={x|﹣2≤x﹣2≤2}={x|0≤x≤4}，则A∩B={x|0≤x＜3}=[0，3）．故选：B．2.已知i 是虚数单位，则z=+i（i 为虚数单位）所对应的点位于复平面内的（）A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：z=+i= +=2﹣3i+ =1﹣3i，因此所对应的点（1，﹣3）位于复平面内的第四象限．故选：D．3.已知命题P：∃x0∈R，sinx0+cosx0= ；命题q：函数f（x）=x ﹣（）x 有一个零点，则下列命题为真命题的是（）A.p∧q B．p∨q C．￢q D．p∧（￢q）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】推导出命题P：∃x0∈R，sinx0+cosx0= 是假命题，命题q：函数f（x）=x﹣（）x 有一个零点是真命题，从而P∨q 是真命题．【解答】解：∵sinx0+cosx0= sin（）∈[﹣，]，∴命题P：∃x0∈R，sinx0+cosx0= 是假命题，﹣∵命题 q ：函数 f （x ）=x ﹣（ ）x 有一个零点，由幂函数与指数函数的图象得命题 q 是真命题， ∴P ∨q 是真命题． 故选：B ．4. 工商局对超市某种食品抽查，这种食品每箱装有 6 袋，经检测，某箱中每袋的重量（单位：克）如以下茎叶图所示．则这箱食品一袋的平均重量和重量的中位数分别为（ ）A ．249，248B ．249，249C ．248，249D ．248，249 【考点】BA ：茎叶图．【分析】由茎叶图，能示出食品的平均重量和重量的中位数． 【解答】解：由茎叶图知，这箱食品一袋的平均重量为 249+=249．重量的中位数为=249．故选 B ．5．已知双曲线=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，右焦点 F2 与抛物线 y2=4x 的焦点相同，离心率为 e= ，若双曲线左支上有一点 M 到右焦点 F2 距离为 18，N 为MF2 的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于（ ）A ．B ．1C ．2D ．4【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得双曲线的 c ，由离心率公式可得 a ，连接 MF1，利用 ON 是△MF1F2 的中位线，|ON|=|MF1|，再由双曲线的定义求出|MF1|，进而得到|ON|的值．【解答】解：右焦点 F2 与抛物线 y2=4x 的焦点（，0） 相同，可得双曲线的 c=，离心率为，可得 a=5， 由双曲线左支上有一点 M 到右焦点 F2 的距离为 18，N 是MF2 的中点，连接MF1，ON 是△MF1F2 的中位线，可得ON∥MF1，|ON|= |MF1|，由双曲线的定义知，|MF2|﹣|MF1|=2×5，∴|MF1|=18﹣10=8．∴|ON|=4，故选：D．6.运行如下程序框图，分别输入t=45，t=﹣，则输出s 的和为（）A．﹣2017 B．2017 C．﹣2016 D．2016【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图的功能进行求解即可．【解答】解：由题意可得s=，当t=45 时，s=﹣1845，当t=﹣时，s=﹣172，则输出s 的和为﹣2017．故选：A．7.某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的表面积为（）D．60A．65 B．C．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积．【解答】解：由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体ABC﹣DEF，它是由直三棱柱ABC﹣DGF 截去三棱锥E﹣DGF 后所剩的几何体，其中AB⊥AC，所以其表面积S= +=60；故选D．8.设等比数列{an}的公比为q，前n 项和为Sn，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的前n 项和为Sn．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若q=1 时，S6=6a1=3S2=3•2a1=6a1，q=﹣1 时，S6=3S2=0，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件，故选：C．9.函数y=（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：函数y=（x≠0）是奇函数，排除C，D．当x= 时，y=＜0．排除B，故选：A．10.在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，C=，若=（c﹣，a﹣b），=（a﹣b，c+），且∥，则△ABC 的面积为（）A．3 B．C．D．3【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】∥，可得（a﹣b）2= （c+ ），化简利用余弦定理可得cos= =，解得ab．即可得出三角形面积．【解答】解：∵∥，∴（a﹣b）2=（c+），化为：a2+b2﹣c2=2ab﹣6．∴cos = = = ，解得ab=6．∴S△ABC= sinC= =．故选：C．11.在三棱锥P﹣ABCD 中，PA=PB=PC=2，AC=AB=4，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．4π B．36π C．48π D．24π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】在三棱锥P﹣ABC 中，可得顶点P 在底面三角形ABC 的投影为底面三角形ABC 的外心，取BC 的中点O1，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的球心O 在它的高PO1 上，设三棱锥P﹣ABC 的外接球的半径为R，在Rt△AOO1 中，R2=8+（R﹣4）2，解得R 即可．【解答】解：在三棱锥P﹣ABC 中，由PA=PB=PC=2，得顶点P 在底面三角形ABC 的投影为底面三角形ABC 的外心，取BC 的中点O1，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的球心O 在它的高PO1 上，设三棱锥P﹣ABC 的外接球的半径为R，则PO=AO=R，由题意可得PO1=4，OO1=4﹣R，在Rt△AOO1 中，R2=8+（R﹣4）2，解得R=3，所以球的表面积S=36π．故选：B12．已知函数f（x）=a（x2+1）．若对任意a∈（﹣4，﹣2）及x∈[1，3]时，恒有ma﹣f（x）＞a2+lnx 成立，则实数m 的取值范围为（）A．m≤2 B．m＜2 C．m≤﹣2 D．m＜﹣2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对任意x∈[1，3]时，恒有ma﹣f（x）＞a2+lnx 成立，等价于ma﹣a2＞[a（x2+1）+lnx]max，由h（x）=a（x2+1）+lnx 的单调性，根据单调性易求h（x）max，转化为关于a 的不等式，分离出参数m 后，再求关于a 的函数的最值即可；【解答】解：由题意知对任意a∈（﹣4，﹣2）及x∈[1，3]时，恒有ma﹣f（x）＞a2+lnx 成立，等价于ma﹣a2＞[a（x2+1）+lnx]max令h（x）=a（x2+1）+lnx，h′（x）=2ax+=，令h′（x）=0，得x=，当x 时，h'（x）＞0，在x 时，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数；因为a∈（﹣4，﹣2），所以（，），当a∈（﹣4，﹣2）时，h（x）在[1，3]上是减函数，所以h（x）max=h（1）=2a，所以ma﹣a2＞2a，即m＜a+2，因为a∈（﹣4，﹣2），所以﹣2＜a+2＜0，所以实数m 的取值范围为m≤﹣2．故选：C二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题纸上.）13．已知变量x，y 满足约束条件则z=x﹣2y 的取值范围是[﹣6，0] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由z=x﹣2y 得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z 由图象可知当直线y= x﹣z 经过点A（2，4）时，直线y=x﹣z 的截距最大，此时z 最小为z=2﹣8=﹣6，当直线y=x﹣z 经过点O（0，0）时，直线y=x﹣z 的截距最小，此时z 最大为z=0故﹣6≤z≤0，故答案为：[﹣6，0]14．若sin（﹣α）= ，则sin（﹣2α）= ．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】运用角的等价变化得到sin（﹣α）==sin（﹣α）=cos（），运用倍角公式求值．【解答】解：因为sin（﹣α）==sin（﹣α）=cos（），则sin（﹣2α）=sin（﹣2α）=cos（）=cos2（）=2cos2（）﹣1=﹣；故答案为：﹣．15．已知函数f（x）=，则f=f（x﹣4），从而得到f，由此能求出f=﹣f（x﹣2），得f（x）=f（x﹣4），故f=f（5）=﹣f（3），又f（3）=log22=1，∴f 在等差数列{an}中，公差d≠0，已知S5=20，且a1，a3，a7 成等比数列．设Tn 为数列{ }的前n 项和，若存在n∈N*，使得Tn﹣λan+1≥0 成立，则实数λ 的取值范围（﹣∞，] ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知得an=n+1，，则Tn== ．若存在n∈N+，使得Tn﹣λan+1≥0 成立，即存在n∈N+，使成立．又，即可得实数λ 的取值范围．【解答】解：由题意可得：即，又因为d≠0，所以，所以an=n+1，则，故Tn==．若存在n∈N+，使得Tn﹣λan+1≥0 成立，则存在n∈N+，使得成立，即存在n∈N+，使成立．又，（当且仅当n=2 时取等号），所以．即实数λ的取值范围是（﹣．故答案为：（﹣]．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17.函数φ（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若把函数φ（x）的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2 倍，得到函数f（x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x+φ′）（0＜φ′＜）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ′）在[0，2π]上的单调递减区间．﹣【考点】HK ：由 y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象． 【分析】（1）根据 φ（x ）的部分图象，得出 A 、T 、ω 和 φ 的值，写出函数 φ（x ）；再利用图象变换得出函数 f （x ）； （2）根据 f （x ）得出 f （x+φ′），利用奇函数的定义得出 φ′的值，写出函数 g （x ），求出它在 x ∈[0，2π]上的单调递减区间．【解答】解：（1）根据 φ（x ）=Asin （ωx+φ）的部分图象知，A=2， = ，∴T=π，ω= =2； 又 2sin （2×+φ）=2，∴+φ=+2kπ，k ∈Z ，∴φ=﹣+2kπ，k ∈Z ；又|φ|＜ ，∴φ=，∴φ（x ）=2sin （2x ﹣）；把函数 φ（x ）的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来的 2 倍， 得函数 f （x ）=2sin （x ﹣）的图象；（2）由（1）可知 f （x ）=2sin （x ﹣），∴f （x+φ′）=2sin （x+φ′﹣），∵y=f （x+φ′）是奇函数，则 sin （φ′﹣）=0，又 0＜φ′＜，∴φ′=，∴g （x ）=cos （2x ﹣φ′）=cos （2x ﹣），令 2kπ≤2x ﹣≤2kπ+π，k ∈Z ，则 kπ+≤x ≤kπ+，k ∈Z ，∴g（x）的单调递减区间是[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z，又x∈[0，2π]，∴当k=0 时，递减区间为[，]；当k=1 时，递减区间为[，]；∴函数g（x）在[0，2π]上的单调递减区间是[，]，[ ，]．18.如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，在底面ABCD 中，AD∥BC，AD⊥CD，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 的中点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD= ，PB= ．（1）求证：平面PAD⊥底面ABCD（2）试求三棱锥B﹣PQM 的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知可得四边形BCDQ 为平行四边形，得CD∥BQ．再由AD⊥CD，可得QB⊥AD．求解三角形可得PB2=PQ2+QB2，知PQ⊥QB，由线面垂直的判定可得BQ⊥平面PAD，则平面PAD⊥底面ABCD；（2）由PA=PD，Q 是AD 的中点，得PQ⊥AD．结合面面垂直的性质可得PQ⊥平面ABCD．再由M 是棱PC 上的中点，得VB﹣PQM=VP﹣BQC﹣VM﹣PQC=VP﹣BQC﹣，求出棱锥P﹣BQC 得体积得答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BC= AD=1，Q 是AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD∥BQ．∵AD⊥CD，∴QB⊥AD．又PA=PD=2，AD=2，Q 是AD 的中点，故PQ=，又QB=CD=，PB= ．∴PB2=PQ2+QB2，由勾股定理可知PQ⊥QB，又PQ∩AD=Q，∴BQ⊥平面PAD，∴平面PAD⊥底面ABCD；（2）解：∵PA=PD=2，Q 是AD 的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．又M 是棱PC 上的中点，故VB﹣PQM=VP﹣BQC﹣VM﹣PQC=VP﹣BQC﹣=．19.随着手机使用的不断普及，现在全国各地的中小学生携带手机进入校园已经成为了普遍的现象，也引起了一系列的问题．然而，是堵还是疏，就摆在了我们学校老师的面前．某研究型学习小组调查研究“中学生使用手机对学习的影响”，部分统计数据如下表：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数18 7 25学习成绩不优秀人数 6 19 25合计24 26 50参考数据：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中使用手机且成绩优秀的7 位同学记为A 组，不使用手机且成绩优秀的18 位同学记为B 组，计划从A 组推选的2 人和B 组推选的3 人中，随机挑选两人来分享学习经验．求挑选的两人中一人来自A 组、另一人来自B 组的概率．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）计算观测值K2，对照临界值即可得出结论；（2）利用列举法求基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）根据上方公式求得K2= =11.538＞10.828，所以该研究小组有99.9%的把握认为，中学生使用手机对学习有影响；…（2）记A 组推选的两名同学分别为C、D，B 组推选的三名同学分别为a、b、c，则从这5 人中任取两人有CD、Ca、Cb、Cc、Da、Db、Dc、ab、ac、bc，共10 种取法，其中一人来自A 组、另一人来自B 组有6 种取法，故挑选的两人中一人来自A 组、另一人来自B 组的概率为P= =．…20.已知直线l：y=﹣x+3 与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点P（2，1）．（I）求椭圆C 的标准方程；（II）若直线l′：y=﹣x+b 交C 于A，B 两点，且PA⊥PB，求b 的值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I）联立直线与椭圆方程，消去y，可得x 的方程，运用判别式为0，再将P 的坐标代入椭圆方程，解方程可得m，n，进而得到椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线y=b﹣x 和椭圆方程，消去y，可得x 的方程，运用判别式大于0，韦达定理，再由A，B 在直线上，代入直线方程，由垂直的条件，运用向量的数量积为0，化简整理，解方程可得b 的值．【解答】解：（I）联立直线l：y=﹣x+3 与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0），可得（m+n）x2﹣6nx+9n﹣1=0，由题意可得△=36n2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0，即为9mn=m+n，又P 在椭圆上，可得4m+n=1，解方程可得m=，n= ，即有椭圆方程为+=1；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线y=b﹣x 和椭圆方程，可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0，判别式△=16b2﹣12（2b2﹣6）＞0，x1+x2= ，x1x2= ，y1+y2=2b﹣（x1+x2）=，y1y2=（b﹣x1）（b﹣x2）=b2﹣b（x1+x2）+x1x2=，由PA⊥PB，即为•=（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2﹣（y1+y2）+1﹣= ﹣2•+ +5=0，解得b=3 或，代入判别式，b=3 不成立．则b=．21.已知函数f（x）=lnx﹣x2+x（1）设G（x）=f（x）+lnx，求G（x）的单调递增区间；（2）证明：k＜1 时，存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）﹣＞k（x﹣1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（2）令F（x）=f（x）﹣﹣k（x﹣1），求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而证明结论即可．【解答】解：（1）由题意知，G（x）=f（x）+lnx=2lnx﹣x2+x（x＞0），从而G′（x）=﹣x+1=﹣，令G′（x）＞0，得0＜x＜2，所以函数G（x）的单调递增区间为（0，2）．（2）当k＜1 时，令F（x）=f（x）﹣﹣k（x﹣1）=lnx﹣x2+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞0），则有F′（x）=，由F′（x）=0，得﹣x2+（1﹣k）x+1=0，解得x1=＜0，x2=＞1，从而存在x0=x2＞1，当x∈（1，x0）时，F′（x）＞0，故F（x）在[1，x0）上单调递增，从而当x∈（1，x0）时，F（x）＞F（1）=0，即f（x）﹣＞k（x﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C1：x+y=4，曲线为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2 的极坐标方程；（2）若射线l：θ=α（p＞0）分别交C1，C2 于A，B 两点，求的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C1：x+y=4 可得曲线C1 的极坐标方程；先将曲线C2 化为普通方程，进而可得曲线C2 的极坐标方程；（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），﹣＜α＜，则ρ1=，ρ2=2cosα，则=，进而得到答案．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy 中，曲线C1：x+y=4，曲线C1 的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=4，C2 的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，所以曲线C2 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．…（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），﹣＜α＜，则ρ1=，ρ2=2cosα，…==×2cosα（cosα+sinα）=（cos2α+sin2α+1）= [ cos（2α﹣）+1]，…当α=时，取得最大值（+1）．…[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+3|（1）求不等式f（x）＜3 的解集；（2）若不等式f（x）＜3+a 对任意x∈R 恒成立，求实数a 的取值．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出各个区间上的x 的范围，取并集即可；（2）问题转化为|x﹣2|﹣|x+3|＜a+3，根据绝对值的性质得到a+3＞5，解出即可．【解答】解：（1）由|x﹣2|﹣|x+3|＜3，当x≤﹣3 时，2﹣x+x+3＜3，解集为空集；当﹣3＜x＜2 时，2﹣x﹣（x+3）＜3，解得：﹣2＜x＜2；当x≥2 时，x﹣2﹣（x+3）＜3，解得：x≥2．综上所述，所求不等式解集为{x|x＞﹣2}．（2）不等式f（x）＜3+a 等价于|x﹣2|﹣|x+3|＜a+3，∵|x﹣2|﹣|x+3|≤|x﹣2﹣（x+3）|=5（当且仅当x≤﹣3 时取等号），∴a+3＞5，即a＞2．故实数a 的取值范围为（2，+∞）．第21 页（共21 页）。