2015年高中数学《曲线与方程》自测试题【梳理自测】一、曲线与方程1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是( )A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线C．两个点 D．以上答案都不对答案：1.C 2.C◆以上题目主要考查了以下内容：一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．二、直接法求轨迹方程1．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足PM→·PN→＝0，则P点的轨迹是( )A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足AP→·BP→＝x2－6，则P点的轨迹方程是________．3．过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线PN，N为垂足，则线段PN中点M的轨迹方程为________．答案：1.A 2.y2＝x 3.x24＋y2＝1◆以上题目主要考查了以下内容：(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤①建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．②写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．③用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.④化方程f(x，y)＝0为最简形式．⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．(2)两曲线的交点由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．【指点迷津】1．一个核心问题通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题．2．二个检验方向求出轨迹方程后，从两个方面检验①曲线上所有点的坐标都适合方程；②方程的解表示的点都是曲线上的点．3．五种方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．考向一 直接法求轨迹方程例题1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，求点P 的轨迹方程．【审题视点】 首先设出点P 坐标为(x ，y )，然后计算各个数量积，根据题目已知直接表示等量关系，整理求得点P 的轨迹方程．【典例精讲】 设点P (x ，y )，则MP →＝(x ＋1，y )，NP →＝(x －1，y )，MN →＝(2,0)．故MP →·MN →＝2(x ＋1)， PM →·PN →＝MP →·NP →＝(x ＋1)×(x －1)＋y 2＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝－2(x －1)＝2(1－x )．∵MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，∴2(x 2＋y 2－1)＝2(x ＋1)＋2(1－x )． 且NM →·NP →－MP →·MN →＝2(1－x )－2(x ＋1)＝－4x ＜0， 整理得x 2＋y 2＝3(x ＞0)．故点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x ＞0)． 【类题通法】 运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略． 变式训练1．如图所示，已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．解析：设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，FP →＝(x －1，y )，QP →＝(x ＋1,0)，QF →＝(2，－y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .考向二 用定义法求轨迹方程例题2已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，点B 是圆F ：⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程．【审题视点】 由线段的垂直平分线定义转化为椭圆的定义，求椭圆方程．【典例精讲】 如图，连接PA ， 依题意可知|PA |＝|PB |.∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝2＞1.∴P 点轨迹为以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点，长半轴长为1的椭圆． 其方程可设为x 21＋y 2b2＝1.又∵c ＝12，a ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝34.故P 点的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.【类题通法】 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围．变式训练2．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解析：如图，设动圆半径为r . |MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋3，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.这表明动点M 到两定点C 2、C 1的距离的差是常数2，且小于|C 1C 2|＝6. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．考向三 相关点(代入)法求轨迹例题3 设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．【审题视点】 设N (x 1，y )，M (x 0,0)，P (0，y 0)，由已知条件，建立x 0，y 0与x ，y 之间的关系：用x 、y 表示x 0及y 0代入x 0与y 0的关系式．【典例精讲】 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎨⎧x －x 0＝－2x 0y ＝2y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－x y 0＝12y .∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【类题通法】 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎨⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝g x ，y；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 变式训练3．已知△ABC 的两个顶点为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 重心的轨迹方程．解析：设△ABC 的重心G (x ，y )，C (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－23，y ＝y 0－23，即⎩⎨⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2.∵点C 在y ＝3x 2－1上，∴y 0＝3x 20－1.∴3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1，整理得y ＝9x 2＋12x ＋3. ∴△ABC 重心的轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3.求曲线方程的规范解答典型例题 (2014·山东高考专家原创卷)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．【审题视点】 根据抛物线及椭圆的性质求其方程，利用直接法求Q 点轨迹方程． 【思维流程】 代入法求P .利用离心率的定义及a 、b 、c 之间的关系，求a 与b ，写椭圆方程． 设Q 点，进而设P 点，并转换两点坐标． 把Q 、P 点坐标代入已知等式，并整理方程．根据x 2的系数为正数、负数、零讨论曲线特征．【规范解答】 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2………………2分所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1.又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.……………………6分 (2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]，设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 203＝1，解得y 20＝3－34x 2.由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2，故x 2＋3－34x2x 2＋y 2＝λ2，……………… 得⎝⎛⎭⎪⎫λ2－14x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2].9分 ……………………当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]，此轨迹是两条平行于x 轴的线段；当λ2＜14，即0＜λ＜12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；11分当λ2＞14，即λ＞12时，得到x23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分.………………12分【规范建议】 (1)在第(1)问中要有代入过程及求解a 、b 的过程． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题． 真题体验1．(2013·高考全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎨⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎨⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎨⎧ x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎨⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.2．(2013·高考陕西卷)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率. 解析：(1)如图①，①设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |， 由此得|4－x |＝2x －12＋y 2， 化简得x 24＋y 23＝1，∴动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一：②由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，如图②.将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k 2)－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k2.②又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k2，且k 2>32，解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或32. 方法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图②.∵A 是PB 的中点，∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.②又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 取立①②③④，解得⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝0或⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0，即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，∴直线m 的斜率为－32或32.======*以上是由明师教育编辑整理======。