2015年高考数学专项复习——空间几何大题一．选择题（共9小题）1．（2015•惠州模拟）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于（）cm3．4．（2014•太原一模）在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，．C=B=SB=BS=BS==R=OB=5．（2012•北海一模）如图，在120°二面角α﹣l﹣β内半径为1的圆O1与半径为2的圆O2分别在半平面α、β内，且与棱l切于同一点P，则以圆O1与圆O2为截面的球的表面积为（）C D．，再由正弦定理求出=OP===应该改为：7．（2014•阜阳一模）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（），[）[，，=，时，线段8．（2013•北京）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）∴，∵，∴，，=到各顶点的距离的不同取值有，共9．（2012•安徽模拟）如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB=AC=2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF 的长是（）C D．EF=二．解答题（共21小题）10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=1，BC=2．（1）求证：A1C1⊥AB；（2）求点B1到平面ABC1的距离．的高，求出AC=∴∴∴∴••d=d=11．如图所示，在四棱锥V﹣ABCD中，底面四边形ABCD是边长为4的菱形，并且∠BAD=120°，V A=3，V A⊥底面ABCD，O是AC、BD的交点，OE⊥VC于E．求：（1）点V到CD的距离；（2）异面直线VC与BD的距离．，VF==的距离等于AC=2=，∴=．OE=的距离是．12．如图，正四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，底面边长为2，侧棱长为3，E为BC的中点，FG分别为CC′、DD′上的点，且CF=2GD=2．求：（1）C′到面EFG的距离；（2）DA与面EFG所成的角；（3）在直线BB′上是否存在点P，使得DP∥面EFG？，若存在，找出点P的位置，若不存在，试说明理由．，及面d=的法向量的坐标，代入向量夹角公式，即可得到，则=0∴=，取）∵=====∴=013．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（1）求异面直线A1D和BC所成角的大小；（2）求证：AB1⊥平面A1BD；（3）求点C到平面A1BD的距离．）由D=E=所成角为D=BD=B=2的距离为得∴的距离为14．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AO⊥平面BCD；O，E分别是BD，BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（2）求点E到平面ACD的距离．，∴∴∴∴∴到平面的距离为15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，点E、F、G分别是各自所在棱的中点．（1）在棱A1D1所在的直线上是否存在一点P，使得PE与平面B1FG平行？若存在，确定点P的位置，并证明；否则说明理由．（2）求点B1到平面EFG的距离．，利用向量法进行证明．P=P=），∴（﹣），（的法向量=）∵+0+=0，∴的法向量=∵，，（﹣，，﹣∴，∴∵）d==116．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别为PA，PC的中点．（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断l与平面PAC的位置关系，并加以说明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足，记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的锐角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β，①求证：sinθ=sinα•sinβ．②当点C为弧AB的中点时，PC=AB，求直线DQ与平面BEF所成的角的正弦值．，且中，分别可得，，所成的角，所成的角的正弦值为17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=1，∠ABC=90°，AA1=2，M为棱AA1上一点，且B1M与平面ACC1所成角为30°．（1）确定M的位置，并证明你的结论；（2）求二面角M﹣B1C﹣C1的大小正切值；（3）求点B到平面MB1C的距离．N=，，从而得到N=，∴，∴MFE==的正切值为．18．如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，CD⊥面SAD．且．（1）当H为SD中点时，求证：AH∥平面SBC；平面SBC⊥平面SCD．（2）求点D到平面SBC的距离．的中点，∴∴，则，∴∴∵，∴19．如图甲，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，现将△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图乙），且所得到的四棱锥P﹣ABCD的正视图、侧视图、俯视图的面积总和为8．（1）求点C到平面EFG的距离；（2）求二面角G﹣EF﹣D夹角的余弦值；（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明过程．DQ=（=+=，由•，即点，DQ=AD=1，余弦值为）设λ（，则=+，∴•，又20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，，∠ACB=∠PAC=∠PBC=90°，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面ABC；（Ⅱ）求点P到平面ABC的距离；（Ⅲ）已知点E在线段PB上，且BE=1，求EC与平面ABC所成的角．，，∴，，∴中，中，所成的角为21．如图，三棱柱ABC﹣A1BC1的底面是边长2的正三角形，侧面与底面垂直，且长为，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：BD⊥平面AA1C1C；（3）求点A到平面A1BD的距离．D=，∴A=，∴的距离为∴h=的距离是22．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°的菱形且PD=AD=2，又PD⊥底面ABCD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点M到平面PBC的距离．=∴PB=PC=2，∴；的距离为23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．，AP=PB=PBO=所成的角的余弦值为的距离为x CD=OB=PC==x=满足题意，此时=．24．如图示，在底面为直角梯形的四棱椎P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2，BC=6．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（3）求点D到平面PBC的距离．AC=4AO=AB=2AC=，∵BO=AO=4，）×××=3∴，又∵PC=OH=DHO==∴=PB==2PC==8=6h=的距离为25．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，且A1A=4．梯形ABCD的面积为6，且AD∥BC，AD=2BC，AB=2．平面A1DCE与B1B交于点E．（1）证明：EC∥A1D；（2）求点C到平面ABB1A1的距离．）法一：直接利用等体积方法，，求出．，因为（26．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=∠ADC=、AB=AD=2CD=4，作MN∥AB，连接AC交MN于P，现沿MN将直角梯形ABCD折成直二面角（I）若M为AD中点时，求异面直线MN与AC所成角；（Ⅱ）证明：当MN在直角梯形内保持MN∥AB作平行移动时，折后所成∠APC大小不变；（Ⅲ）当点M在怎样的位置时，点M到面ACD的距离最大？并求出这个最大值．AD=ACD=AP=PC==，APC=为定值，ME==ME===取得最大值27．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为1，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求点C到平面A1BD的距离．）利用D=B=2∴的距离为，的距离为28．P点是△ABC外一点，PA⊥平面ABC，PA=4cm，AC=3cm，∠ACB=150°．求：（1）P到直线BC的距离；（2）两条异面直线PA和BC的距离；（3）当∠CBA=θ时，C到平面PAB的距离（用θ表示）．的距离；∴∴的距离为∵的距离为29．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）求点A到平面BDF的距离；（3）试计算多面体ABCDEF的体积．S，的距离为S=30．正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长等于2，E，F分别是B′D′，AC的中点．求：（1）直线AB′和平面ACD′所成角的正弦值；（2）二面角B′﹣CD′﹣A的余弦值；（3）点B到平面ACD′的距离．的距离，，的一个法向量所成角的正弦值是得，取的一个法向量）∵，平面的一个法向量的距离31。