L
0.25L 各种支承下压
L
0.7L
杆临界力的通
0.5L 用公式：
L
0.3L
0.25L
Fcr
2EIm i n (L)2
1 2 0.7 0.5 :长度因数
两端铰支, 一端固定,一端自由,
L:相当长度
一端固定,一端铰支, 约束越牢固，长度因数越小。
两端固定, .
计算临界力的统一形式：
Fcr
2EImin (L) 2
F
0.12m
y
0.2m y
z
.
曲曲弯
则称原来的直线平衡是稳定的。
平
平平平
衡
衡衡衡
构 2. 在扰动作用下，直线平衡转变为弯曲平 形 衡，扰动除去后，不能恢复到直线平衡，
构构 形形
则称原来的直线平衡是不稳定的。
.
三：失稳 (屈曲) Lost Stability
1.屈曲(失稳)
构件在荷载作用下，能保持其原有形
式的平衡，构件为稳定的；不能保持 原有形式的平衡，构件为不稳定的，
欧拉公式(Euler formula )的应用条件： 1 理想压杆； 2 线弹性范围内； 3 两端为球铰支座。
.
9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
利用挠曲线近似微分方程，结合压杆的边界条件进 行推导，推导过程与“两端铰支”细长压杆相同。
y
x
F
l
F
F
L
.
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
2EImin L2
第9章 压杆稳定
第二章中，轴向压杆的强度条件为：
σmax=FNAmax≤[σ]
F
例如：横截面为50mm×4mm，长度1m的木杆，[σ] ＝10MPa。受轴向压力F作用。 1）按强度条件，其可承受最大压力为：
F=〔σ〕A=2000N； 2）实际上，当压力F不足30N时，杆就突然发生明
显的侧向弯曲变形。力再稍增加，杆就折断了。 3）杆之折断，并非抗压强度不足，而是与受压时
临界状态
稳 定
对应的
过渡
不 稳 定
压力
临界压力:Fcr
.
9.2 两端铰支细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力的推导
假定压力已达到临界值，杆处于微弯状态w，x M(x)
从挠曲线入手，求临界力。
EI
① 弯矩：M Fw x
y
x
② 挠曲线近似微分方程：
F
l
F
w Fw
EI
y F
M W(x) F
P296（9.5）
x
1）与材料（E）有关、截面尺寸(I)有关、 与长度(L) ；与约束(μ)有关。
2）临界力Fcr越高，承载能力越强，稳定 性能越好。
y
3）杆端在各个方向的约束情况相同，压 y
杆失稳时，
1.细长压杆材料相同，均为圆形截面，直径为d。 当压力F从零开始增加时，问：哪根杆先失稳？
变弯有关，即杆件发生屈曲（丧失稳定）。
.
.
压杆
.
一：平衡状态分类 1.稳定的平衡 ：扰动作用除去后能回复的平衡。
2.不稳定的平衡 ：扰动作用除去后不能回复的平衡。
随遇平衡
.
直线平衡 压杆的两种平衡：
微弯平衡
二：压杆直线平衡的稳定与不稳定
1. 在扰动作用下，直线平衡转变为弯曲平 直
弯弯微
衡，扰动除去后，能够恢复到直线平衡， 线
w Fw w k2w 0
x
EI
其 中: k2 F
EI
.
w Fww k2w0 EI
其 中: k2 F EI
③ 微分方程的解： w A sk in x B ck ox s
④ 确定常数： w (0 )w (L )0
即 : A As 0 ik nB L B 0 coksL 0 AsinkBL
0 0
A≠0 ???
y
x
sinkL=0 !!!
F
l
F
若A=0, 则挠曲线：w 0 s k i n 0 x ck o 0 x s
与杆处于微弯状态的假设相矛盾!
.
w Fw w k2w 0 EI
B0
AsinkL 0
k n F
L
EI
∴Fcr
=
π2EImin L2
B0
A0
sin kL 0
临界力 Fcr 是杆微弯下的 最小压力，取n=1 ；
F
F
F
1.3L L
1.6L
①
②
③
.
2.在设计图示细长压杆时，有正方形和圆形两种 截面可供选择，它们的面积相同。试判断哪种截 面的稳定性好？
.
3.矩形截面细长压杆，两端支承情况为： 下端：嵌固； 上端：在黑板平面内不能水平移动和转动；在垂 直于黑板平面内可水平移动和转动，问：在力F作 用下压杆会在哪个平面内失稳？
直 线 平
或称为失稳。
衡
构
形
形弯弯微 曲曲弯 平平平 衡衡衡 构构构
形形
.
F < Fcr —稳定平衡状态 F = Fcr —临界状态
F > Fcr —不稳定状态
临界状态的特点是， 不加干扰力，压杆处 于直线形式的平衡； 加一微小干扰力并撤 掉后，压杆保持微弯 状态的平衡。
关键 确定压杆临界力Fcr