第十章 压杆稳定
第一节 引言
压杆是工程实际中常见的一种承载构件，例如： 实践表明，压杆的主要失效形式既不是强度失效，也不是刚度失 效，而是失稳。
恒山悬空寺
一、压杆稳定与压杆失稳 压杆稳定： 压杆能够稳定地保持其原有直线形式的平衡 压杆失稳： 压杆丧失了其原有直线形式的平衡
F FFcr Fcr
F ≥FF ≥ F≥cr FFccrr
一、压杆的临界应力
定义
cr
Fc r A
为压杆的临界应力， 即有
＜ cr： 压杆稳定 ≥ cr： 压杆失稳
二、压杆临界应力的欧拉公式
式中，无量纲参量
cr
π2E
2
l
i
称为压杆的柔度或长细比，其综合反映了压杆的两端约束、长度 和截面对压杆稳定性的影响，可直接作为压杆稳定性的判据。
三、欧拉公式的适用范围
m4
压杆临界力
Fcr
π 2 EI min
l 2
35630 N
A c 5.18 cm2
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不 同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？
解：由于各杆的材料与截 面均相同，故只需比较其
0.7
压杆两端固定但可轴向相对移动： 0.5
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l2
说明 （1）欧拉公式的适用范围：线弹性( ≤ p )
（2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下(即各个方向
上的长度因数 相等)，I 应取最小值
（3）l 称为压杆的相当长度
第三节 临界应力的欧拉公式
相当长度 l 即可。
杆A： 2 l 2a
F A
a 1.3 a 1.6 a
F B
F C
杆B： 1
d
l 1.3a
杆C： 0.7 l 1.12a
结论： 杆 A 先失稳
cr
π2E
2
≤p
或者
≥
π2E
p
p
式中，欧拉公式适用的柔度界限值 p 为材料常数
这类杆称为细长杆（或大柔度杆），亦即欧拉公式适用于细长 杆（或大柔度杆）。
[例1] 如图，矩形截面的细长压杆两端球形铰支。已知杆长 l = 2 m , 截面尺寸 b = 40 mm， h = 90 mm，材料弹性模量 E = 200 GPa。试 计算此压杆的临界力Fcr。
F Fcr
F ≥ Fcr
压杆稳定
压杆失稳
第二节 临界力的欧拉公式
对于弹性压杆，临界力的计算公式为
Fc r
π 2 EI
l2
式中，E为材料的弹性模量；I 为截面对中性轴
F
的惯性矩；l 为压杆长度； 称为长度因数，取
决于压杆的两端约束：
F
压杆一端固定一端自由：
2
压杆两端铰支：
1
压杆一端固定一端铰支：
F
l
A a 5 cm2
矩形截面
A b 5.076 cm2 No. 4.5 等边角钢
A c 5.18 cm2
圆环形截面
解： 1）矩形截面
Imin
1 12
50 103
10 103
3 0.42 108 m4
压杆临界力
Fcr
π2 EImin
l 2
2073 N
2）No. 4.5 等边角钢
由型钢表查得
压杆稳定
压杆失稳
压杆的失稳载荷通常远低于强度失效载荷，且失稳破坏具有 突发性，往往会引起灾难性的后果。
1907年8月29日，享有盛誉的美国桥梁学家库柏在加拿大圣劳伦 斯河上建造的魁北克大桥（Quebec Bridge）发生稳定性破坏， 导致 75 位工人死亡，成为上世纪十大工程惨案之一。
2000年10月25日上午10时，南京 电视台演播中心施工工地由于撑 杆失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
Imin 3.89 108 m4
压杆临界力
Fcr
π 2 EI min
l 2
19200 N
Aa 5 cm2
A b 5.076 cm2
Fcr 2073 N
Fcr 19200 N
3）圆环形截面
Aa 5 cm2
A b 5.076 cm2
I
π 64
384
1 28 384Fra bibliotek1012
7.22 108
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
二、压杆的临界力
使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力，
记作 Fcr。即当
F ＜ Fcr： 压杆稳定
F ≥ Fcr： 压杆失稳
亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力。
解： 显然 Iy < Iz，故应按 Iy 计算临界力
Iy
hb3 12
1 90 403 12
48 108
m4
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π2EI y l2
23.8 kN
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。