2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三（下）开学数学试卷一、填空题（共12小题）.1．行列式中，6的代数余子式的值是．2．若抛物线上一点M到焦点F的距离为4，则点M的纵坐标的值为．3．设A＝{x|x＝，k∈N}，B＝{x|x≤5，x∈Q}，则A∩B＝．4．若复数z满足（3﹣4i）z＝|（2+i）（1﹣2i）|（其中i为虚数单位），则z的虚部是．5．函数y＝的定义域为．6．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为万元．7．关于x的方程lgx＝有大于1的实数根，则实数a的取值范围是．8．空间中一条线段在三视图中的长度分别为5，，，则该线段的长度为．9．某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有种．10．已知a1、a2与b1、b2是4个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|的解集A不是无限集，则集合A中元素的个数构成的集合为．11．如图，已知AC＝4，B为AC的中点，分别以AB、AC为直径在AC的同侧作半圆，M、N分别为两半圆上的动点（不含端点A、B、C），且，则的最大值为．12．已知函数f（x）对于任意实数x，都有f（x）＝f（398﹣x）＝f（2158﹣x）＝f（3214﹣x），则函数值f（0），f（1），f（2），…，f（2020）中最多有个不同的数值．二、选择题（共4小题）.13．如果正数a，b，c，d满足a+b＝cd＝4，那么（）A．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一14．“数列{a n}和数列{b n}极限都存在”是“数列{a n+b n}和数列{a n﹣b n}极限都存在”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要15．在△ABC中，若sin A＝，则cos B+cos C的取值范围是（）A．（0，1]B．C．D．以上答案都不对16．已知数列{a n}为有穷数列，共95项，且满足，则数列{a n}中的整数项的个数为（）A．13B．14C．15D．16三、解答题17．已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形．（1）求几何体A﹣BCED的体积．（2）求直线CE与平面AED所成角的大小．18．已知函数f（x）＝，k≠0，k∈R．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，求实数k的取值范围．19．某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n个月从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）＝A cos（wn+θ）+k来刻画，其中正整数n 表示月份且n∈[1，12]，例如n＝1表示1月份，A和k是正整数，w＞0，θ∈（0，π）．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，求f（n）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．20．设复平面上点对应的复数z＝x+yi（x∈R，y∈R）（i为虚数单位）满足|z+2|+|z﹣2|＝6，点Z的轨迹方程为曲线C1．双曲线C2：x2与曲线C1有共同焦点，倾斜角为的直线l与双曲线C2的两条渐近线的交点是A、B，＝2，O为坐标原点．（1）求点Z的轨迹方程C1；（2）求直线l的方程；（3）设△PQR三个顶点在曲线C1上，求证：当O是△PQR重心时，△PQR的面积是定值．21．对于任意n∈N*，若数列{a n}满足x n+1﹣x n＞1，则称这个数列为“K数列”．（1）已知数列：1，|m+1|，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（2）设等差数列{a n}的前n项和为S n，当首项a1与公差d满足什么条件时，数列S n是“K数列”？（3）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且2S n+1﹣3S n＝2a1，n∈N*．设c n＝λa n+（﹣1）n a n+1，是否存在实数λ，使得数列{c n}为“K数列”．若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（共12小题）.1．行列式中，6的代数余子式的值是6．解：6的代数余子式A23＝﹣＝﹣（1×8﹣2×7）＝6，故答案为：6．2．若抛物线上一点M到焦点F的距离为4，则点M的纵坐标的值为3．解：抛物线的标准方程为x2＝4y，设点M（x0，y0），则p＝2，由抛物线的焦半径公式可得：|MF|＝y＝y0+1＝4，所以y0＝3，故答案为：3．3．设A＝{x|x＝，k∈N}，B＝{x|x≤5，x∈Q}，则A∩B＝{1，4}．解：∵A＝{x|x＝，k∈N}＝{1，，，4，，，，6，…}，B＝{x|x≤5，x∈Q}，∴A∩B＝{1，4}．故答案为：{1，4}．4．若复数z满足（3﹣4i）z＝|（2+i）（1﹣2i）|（其中i为虚数单位），则z的虚部是．解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|（2+i）（1﹣2i）|（其中i为虚数单位），∴（3﹣4i）z＝|2+i﹣4i﹣2i2|＝|4﹣3i|＝＝5，∴z＝＝＝＝＝，∴z的虚部是．故答案为：．5．函数y＝的定义域为．解：由题意得：，解得：x≤且x≠，故函数的定义域是（﹣∞，）∪（，]，故答案为：（﹣∞，）∪（，]．6．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为10万元．解：由直方图可以看出11时至12时的销售额应为9时至10时的销售额的4倍，因为9时至10时的销售额为2.5万元，故11时至12时的销售额应为2.5×4＝10，故答案为：10．7．关于x的方程lgx＝有大于1的实数根，则实数a的取值范围是（）．解：∵关于x的方程lgx＝有大于1的实数根，∴＞0，即＜0，解得：﹣＜a＜4，∴实数a的取值范围是（）．故答案为：（）．8．空间中一条线段在三视图中的长度分别为5，，，则该线段的长度为．解：根据三视图的转换的应用，如图所示：，所以x2+y2＝25，x2+z2＝13，y2+z2＝20，所以2x2+2y2+2z2＝58，则x2+y2+z2＝29，所以．故答案为：．9．某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有16种．解：农场主人中间有A44＝24种，农场主人站在中间，两名男生相邻共有2A22A22＝8种，故不同的站法共有24﹣8＝16种，故答案为：16．10．已知a1、a2与b1、b2是4个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|的解集A不是无限集，则集合A中元素的个数构成的集合为{1}．解：①假设有0个交点，A（0，1），B（1，1），设a＜b，∴C（a，b﹣a），D（b，b ﹣a），由题意，，∴，，∴，而由三角不等式，，故矛盾，∴不可能有0个交点．②假设有2个交点，，，∴，，∴，明显矛盾，∴不可能有2个交点．其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类，故答案为：{1}．11．如图，已知AC＝4，B为AC的中点，分别以AB、AC为直径在AC的同侧作半圆，M、N分别为两半圆上的动点（不含端点A、B、C），且，则的最大值为1．解：如图，，设∠ABM＝∠BNE＝θ，θ∈（0，π），∴BE＝2sinθ，BM＝2cosθ，BD＝2cos2θ，∴，即，则的最大值为1．故答案为：1．12．已知函数f（x）对于任意实数x，都有f（x）＝f（398﹣x）＝f（2158﹣x）＝f（3214﹣x），则函数值f（0），f（1），f（2），…，f（2020）中最多有177个不同的数值．解：由题意，图象关于x＝199、x＝1079、x＝1607对称，∴函数有周期性，设周期为T，∴，，m、n∈N*，∵880和528最大公约数为176，，，∴，T≤352，即函数f（x）的最大周期为352，∴在同一周期中函数值最多有×352+1＝177个不同的值．故答案为：177．二、选择题13．如果正数a，b，c，d满足a+b＝cd＝4，那么（）A．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一解：如果a，b是正数，则根据均值不等式有：，则（a+b）2≥4ab如果c，d是正数，则根据均值不等式有：；则∵a，b，c，d满足a+b＝cd＝4，∴2当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号．化简即为：ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一．故选：A．14．“数列{a n}和数列{b n}极限都存在”是“数列{a n+b n}和数列{a n﹣b n}极限都存在”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要解：根据题意，数列{a n}和数列{b n}极限都存在，设a n＝A，b n＝B，则（a n+b n）＝a n+b n＝A+B，（a n﹣b n）＝a n﹣b n＝A﹣B，故数列{a n}和数列{b n}极限都存在”是“数列{a n+b n}和数列{a n﹣b n}极限都存在”的充分条件，反之，“数列{a n+b n}和数列{a n﹣b n}极限都存在，设（a n+b n）＝M，（a n﹣b n）＝N，则a n＝[（a n+b n）+（a n﹣b n）]＝（a n+b n）+（a n﹣b n）＝（M+N），b n＝[（a n+b n）﹣（a n﹣b n）]＝（a n+b n）﹣（a n﹣b n）＝（M﹣N），故数列{a n}和数列{b n}极限都存在”是“数列{a n+b n}和数列{a n﹣b n}极限都存在”的必要条件，综合可得：数列{a n}和数列{b n}极限都存在”是“数列{a n+b n}和数列{a n﹣b n}极限都存在”的充分必要条件，故选：C．15．在△ABC中，若sin A＝，则cos B+cos C的取值范围是（）A．（0，1]B．C．D．以上答案都不对解：记f＝cos B+cos C，因为sin A＝，可得A＝，或，当A＝时，B＝﹣C，其中0＜C＜，此时f＝cos（﹣C）+cos C＝sin C+cos C＝sin（C+）∈（0，1]，当A＝时，B＝﹣C，其中0＜C＜，此时f＝cos（﹣C）+cos C＝sin C+cos C＝sin（C+φ），其中φ＝arctan3，注意到φ∈（，），函数g（x）＝sin（x+φ）在[0，﹣φ]上单调递增，在[﹣φ，]上单调递减，又g（0）＝＞2＝g（），g（﹣φ）＝，故f∈（2，]，综上所述，cos B+cos C的取值范围是（0，1]∪（2，]．故选：B．16．已知数列{a n}为有穷数列，共95项，且满足，则数列{a n}中的整数项的个数为（）A．13B．14C．15D．16解：数列{a n}为有穷数列，共95项，且满足，故n最大为95．则要使数列{a n}中的项为整数项，则n为偶数，且为整数，故n＝2，8，14，20，26，…，92，共计16项，故选：D．三、解答题17．已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形．（1）求几何体A﹣BCED的体积．（2）求直线CE与平面AED所成角的大小．解：（1）由题意得几何体A﹣BCED的体积：V＝＝＝．（2）以C为原点，分别以CA、CB、CE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），E（0，0，4），A（4，0，0），D（0，4，1），＝（0，0，4），＝（﹣4，0，4），＝（0，4，﹣3），设平面AED的法向量＝（x，y，z），则，取x＝4，得＝（4，3，4），设CE与平面AED所成角为θ，则sinθ＝＝，∴直线CE与平面AED所成角为arcsin．18．已知函数f（x）＝，k≠0，k∈R．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，求实数k的取值范围．解：（1）根据题意，函数f（x）＝，其定义域为R，f（﹣x）＝+﹣1＝+2x﹣1，当k＝1时，有f（x）＝f（﹣x），函数f（x）为偶函数，当k≠1时，f（x）≠f（﹣x）且f（﹣x）≠﹣f（x），函数f（x）为非奇非偶函数；（2）设t＝2x，x∈（﹣∞，0]，则有0＜t≤1，则y＝+﹣1，当k＜0时，函数f（x）在R上递减，符合题意；当k＞0时，t∈（0，）上时，函数y＝+﹣1递减，t∈（，+∞）上时，函数y＝+﹣1递增，若已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，必有≥1，解可得k≥1，综合可得：t的取值范围是（﹣∞，0）∪[1，+∞）．19．某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n个月从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）＝A cos（wn+θ）+k来刻画，其中正整数n 表示月份且n∈[1，12]，例如n＝1表示1月份，A和k是正整数，w＞0，θ∈（0，π）．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，求f（n）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．解：（1）根据题意知，T＝12，∴ω＝＝；又，解得，由×2+θ＝﹣π+2kπ，k∈Z；解得θ＝﹣+2kπ，k∈Z；又θ∈（0，π），∴θ＝；∴函数f（n）＝200cos（n+）+300；（2）令f（n）＝200cos（n+）+300≥400，化简得cos（n+）≥，即﹣+2kπ≤n+≤+2kπ，k∈Z，解得n∈[12k﹣6，12k﹣2]，k∈Z；又n∈[1，12]，∴n∈[6，10]，∴取n＝6，7，8，9，10；即一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”．20．设复平面上点对应的复数z＝x+yi（x∈R，y∈R）（i为虚数单位）满足|z+2|+|z﹣2|＝6，点Z的轨迹方程为曲线C1．双曲线C2：x2与曲线C1有共同焦点，倾斜角为的直线l与双曲线C2的两条渐近线的交点是A、B，＝2，O为坐标原点．（1）求点Z的轨迹方程C1；（2）求直线l的方程；（3）设△PQR三个顶点在曲线C1上，求证：当O是△PQR重心时，△PQR的面积是定值．解：（1）由题意知点Z的轨迹为椭圆，且a＝3，c＝2，∴b2＝9﹣4＝5，∴点Z的轨迹方程C1为：＝1．（2）∵双曲线C2：x2与曲线C1有共同焦点，∴c2＝1+n＝4，解得n＝3，∴双曲线C2的方程为＝1，∴双曲线C2的渐近线方程为y＝．设直线l的方程为y＝x+t，联立方程，得A（，），B（，），∴＝+＝2，解得t2＝2，∴直线l的方程为y＝x．（3）设P（3cosθ1），Q（3cosθ2，），R（3cos），θ1，θ2，θ3∈[0，2π），∵O为△PQR的重心，∴，∴cos（θ1﹣θ2）＝﹣，cos（θ2﹣θ3）＝﹣，cos（θ3﹣θ1）＝﹣，∴S△PQR＝3S△OPQ＝3||＝|3sin（θ2﹣θ1）|＝，∴当O是△PQR重心时，△PQR的面积是定值．21．对于任意n∈N*，若数列{a n}满足x n+1﹣x n＞1，则称这个数列为“K数列”．（1）已知数列：1，|m+1|，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（2）设等差数列{a n}的前n项和为S n，当首项a1与公差d满足什么条件时，数列S n是“K数列”？（3）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且2S n+1﹣3S n＝2a1，n∈N*．设c n＝λa n+（﹣1）n a n+1，是否存在实数λ，使得数列{c n}为“K数列”．若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得：，解得m＞2，或m＜﹣3．故实数m的取值范围是m＞2，或m＜﹣3．（2）假设存在等差数列{a n}符合要求，设公差为d，则S n+1﹣S n＝a n+1＝a1+nd＞1恒成立，∴d≥0，a1+d＞1．（3）2S n+1﹣3S n＝2a1，n∈N*．n≥2时，2S n﹣3S n﹣1＝2a1，相减可得：2a n+1＝3a n．n＝1时，2（a1+a2）﹣3a1＝2a1，可得2a2＝3a1．∴数列{a n}是等比数列，公比为，a1＝1．∴a n＝．∴c n＝λa n+（﹣1）n a n+1＝λ•+（﹣1）n•，由c n+1﹣c n＞1，可得：λ+（﹣1）n+1••＞1．（i）n为偶数时，λ＞+2•恒成立，可得λ＞．（ii）n为奇数时，λ＞﹣+2•恒成立，可得λ＞﹣．综上可得：λ＞．。