专题8：导数（文）经典例题剖析考点一：求导公式。
例1. f(x)是f(x)13x2x1的导函数，则f(1)的值是。
3解析：f’x x22，所以f’112 3答案：3考点二：导数的几何意义。
，f(1))处的切线方程是y例2. 已知函数y f(x)的图象在点M(1f(1)f(1)。
解析：因为k1x2，则211，f(1))，可得点M的纵坐标为，所以f’1，由切线过点M(12255，所以f1，所以f1f’1 3 22答案：3，3)处的切线方程是。
例3.曲线y x32x24x2在点(1，3)处切线的斜率为k3445，所以设切解析：y’3x24x4，点(1，3)带入切线方程可得b2，，3)线方程为y5x b，将点(1所以，过曲线上点(1处的切线方程为：5x y20答案：5x y20点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
32例4.已知曲线C：y x3x2x，直线l:y kx，且直线l与曲线C相切于点x0,y0x00，求直线l的方程及切点坐标。
解析：直线过原点，则k y0x00。
由点x0,y0在曲线C上，则x0 y232y0x03x02x0，0x03x02。
又y’3x26x2，在x0x0,y0处曲线C的切线斜率为k f’x03x06x02， 222整理得：解得：x02x03x00，x03x023x06x02，3或x002 （舍），此时，y0311，k。
所以，直线l的方程为y x，切点坐标是84433,。
28答案：直线l的方程为y133x，切点坐标是, 428点评：本小题考查导数几何意义的应用。
解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。
函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。
考点四：函数的单调性。
例5.已知f x ax33x2x1在R上是减函数，求a的取值范围。
解析：函数f x的导数为f’x3ax26x1。
对于x R都有f’x0时，f xa0为减函数。
由3ax6x10x R可得，解得a3。
所以，3612a0 2当a3时，函数f x对x R为减函数。
18（1）当a3时，f x3x33x2x13x。
393由函数y x在R上的单调性，可知当a3是，函数f x对x R为减函数。
3（2）当a3时，函数f x在R上存在增区间。
所以，当a3时，函数f x在R上不是单调递减函数。
综合（1）（2）（3）可知a3。
答案：a 3点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。
对于高次函数单调性问题，要有求导意识。
考点五：函数的极值。
例6. 设函数f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值。
（1）求a、b的值；323]，都有f(x)c成立，求c的取值范围。
（2）若对于任意的x[0，2解析：（1）f(x)6x6ax3b，因为函数f(x)在x1及x2取得极值，则有266a3b0，，解得a3，b4。
f(1)0，f(2)0．即2412a3b0．（2）由（Ⅰ）可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)。
1)时，f(x)0；当x(12)，时，f(x)0；当x(2，3)时，f(x)0。
所以，当x(0，当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c。
则当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c。
因为对于任意的x0，3，有f(x)c2恒成立，2所以98c c，解得c1或c9，因此c的取值范围为(，1)(9，)。
1)(9，)。
答案：（1）a3，b4；（2）(，点评：本题考查利用导数求函数的极值。
求可导函数f x的极值步骤：①求导数f’x；②求f’x0的根；③将f’x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f’x在各区间上取值的正负可确定并求出函数f x的极值。
考点六：函数的最值。
例7. 已知a为实数，f x x24x a。
求导数f’x；（2）若f’10，求f x在区间2,2上的最大值和最小值。
解析：（1）f x x ax4x4a，f’x3x2ax4。
2212。
f’x3x x43x4x1 24令f’x0，即3x4x10，解得x1或x，则f x和f’x在区间2,23（2）f’132a40，af19，2504。
所以，f x在区间2,2上的最大值为f273504，最f273小值为f19。
2答案：（1）f’x3x22ax4；（2）最大值为f43950，最小值为f1。
227点评：本题考查可导函数最值的求法。
求可导函数f x在区间a,b上的最值，要先求出函数f x在区间a,b上的极值，然后与f a和f b进行比较，从而得出函数的最大最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8. 设函数f(x)ax3bx c(a0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x6y70垂直，导函数f’(x)的最小值为12。
（1）求a，b，c的值；（2）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值。
解析：（1）∵f(x)为奇函数，∴f(x)f(x)，即ax bx c ax bx c ∴c0，∵f’(x)3ax2b的最小值为12，∴b12，又直线x6y70的斜率为31，因此，f’(1)3a b6，∴a2，b12，c0．6 （2）f(x)2x312x。
f’(x)6x2126(xx，列表如下：所以函数f(x)的单调增区间是(,和)，∵f(1)10，f，f(3)18，∴f(x)在[1,3]上的最大值是f(3)18，最小值是f答案：（1）a2，b12，c0；（2）最大值是f(3)18，最小值是f点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。
导数强化训练（一）选择题x21. 已知曲线y14的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（ A ）A．1 B．2 C．3 D．42. 曲线y x33x21在点（1，－1）处的切线方程为（ B ）A．y3x 4 B．y3x 2 C．y4x 3 D．y4x 53. 函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于（D ）A．1 B．2 C．3 D．44. 已知函数f(x)在x1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为（ A ）A．f(x)(x1)23(x1) B．f(x)2(x1)C．f(x)2(x1)2 D．f(x)x 15. 函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a=（D ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）56. 函数f(x)x33x21是减函数的区间为( D )（Ａ）(2,)（Ｂ）(,2)（Ｃ）(,0)（Ｄ）(0,2)7. 若函数f x x2bx c的图象的顶点在第四象限，则函数f’x的图象是（ A ）x A B C D8. 函数f(x)2x2 13x3在区间[0,6]上的最大值是（A ）A．323 B．163 C．12 D．9x9. 函数y x33x的极大值为m，极小值为n，则m n为（ A ）A．0 B．1 C．2D．410. 三次函数f x ax3x在x,（ A ）A．a0B．a0 C．a 1D．a1 311. 在函数y x38x的图象上，其切线的倾斜角小于是A．3B．2的点中，坐标为整数的点的个数4D．0（ D ）C．112. 函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)）A．1个C．3个（二）填空题B．2个D．4个313. 曲线y x在点1,1处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为__________。
14. 已知曲线y______________ 15. 已知f都有f(n)(n)134x，则过点P(2,4)“改为在点P(2,4)”的切线方程是33(x)是对函数f(x)连续进行n次求导，若f(x)x6x5，对于任意x R，(x)=0，则n的最少值为。
16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨．（三）解答题3217. 已知函数f x x ax bx c，当x1时，取得极大值7；当x3时，取得极小值．求这个极小值及a,b,c的值．18. 已知函数f(x)x33x29x a.（1）求f(x)的单调减区间；（2）若f(x)在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 19. 设t0，点P（t，0）是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。
（1）用t表示a,b,c；（2）若函数y f(x)g(x)在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围。
20. 设函数f x x3bx2cx(x R)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函数。
（1）求b、c的值。
（2）求g(x)的单调区间与极值。
21. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？22. 已知函数f(x)21312x ax bx在区间[11)3]内各有一个极值点．，，(1，32（1）求a4b 的最大值；，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿（1）当a4b8时，设函数y f(x)在点A(1过函数y f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式．2强化训练答案：1.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A 10.A 11.D 12.A（四）填空题13. 8 14. y4x40 15. 7 16. 20 3（五）解答题17. 解：f’x3x22ax b。
2据题意，－1，3是方程3x2ax b0的两个根，由韦达定理得2a13313 b3∴a 3,b9∴∵f x x33x29x c f17，∴c 2极小值f333332932253,b9，c2。
∴极小值为－25，a18. 解：（1）所以函数（2）因为所以f(x)3x26x9. 令f(x)0，解得x1或x3, f(x)的单调递减区间为(,1),(3,). f(2)81218a2a, f(2)81218a22a, f(2)f(2).因为在（－1，3）上f(x)0，所以f(x)在[－1，2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小20，解得a 2. 值.于是有22 a即函数f(x)x33x29x 2. 因此f(1)13927, f(x)在区间2,2上的最小值为－7.19. 解：（1）因为函数即t3f(x)，g(x)的图象都过点（t，0），所以f(t)0，at0.因为t0,所以a t2. g(t)0,即bt2c0,所以c ab.又因为f(x)，g(x)在点（t，0）处有相同的切线，所以f(t)g(t).而f(x)3x2a,g(x)2bx,所以3t2a2bt.t2代入上式得b t. 因此c ab t3.故a t2，b t，c t3. 将a （2）y f(x)g(x)x3t2x tx2t3,y3x22tx t2(3x t)(x t).当y(3x t)(x t)0时，函数y f(x)g(x)单调递减.y0，若t0,则tt x t；若t0,则t x. 33由由题意，函数y f(x)g(x)在（－1，3）上单调递减，则ttt(1,3)(,t)或(1,3)(t,).所以t3或 3.即t9或t 3. 333又当9t3时，函数y f(x)g(x)在（－1，3）上单调递减.所以t的取值范围为(,9][3,).20. 解：（1）∵f x x3bx2cx，∴f x3x22bx c。