a ⊄α ⎫a ∥b ⎭2.2 直线、平面平行的判定及其性质2．2.1&2.2.2 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定预习课本 P54～57，思考并完成以下问题1．线面平行的判定定理是什么？2．判定线面平行的方法有哪些？3．面面平行的判定定理是什么？4．判定面面平行的方法有哪些？[新知初探]1．直线与平面平行的判定定理表示图形 文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行⎪b ⊂ α⎬⇒ a ∥α⎪[点睛] 用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线 a 在平面 α 外，即 a ⊄α； (2)直线 b 在平面 α 内，即 b ⊂ α； (3)两直线 a ，b 平行，即 a ∥b .2．平面与平面平行的判定⎭表示位置图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⎫⎪⎬⇒α∥β⎪[点睛](1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α()(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行()(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()答案：(1)×(2)×(3)×2．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．aα，b⊂α，a∥b解析：选D由线面平行的判定定理可知，D正确．3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行C．平行或相交B．一定相交D．以上判断都不对解析：选C可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．直线与平面平行的判定[典例]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.QN ， ＝ ， ＝ .∴M ，N ，Q 分别是△ABC 的边 BC ，AC ，AB 的中点，且 ＝ ＝2，[证明] 连接 BC 1，则由 E ，F 分别是 BC ，CC 1 的中点，知 EF ∥BC 1. 又 AB 綊 A 1B 1 綊 D 1C 1，所以四边形 ABC 1D 1 是平行四边形， 所以 BC 1∥AD 1，所以 EF ∥AD 1.又 EF ⊄平面 AD 1G ，AD 1⊂ 平面 AD 1G ， 所以 EF ∥平面 AD 1G.利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．[活学活用]已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线 AE ，BD 上的点，且 AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面 CBE.证明：如图，作 PM ∥AB 交 BE 于点 M ，作 QN ∥AB 交 BC 于点 N ，连接 MN ，则 PM ∥PM EP QN BQAB EA CD BD∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ .又∵AB ＝CD ，∴PM 綊 QN ，∴四边形 PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN .又∵PQ ⊄平面 CBE ，MN ⊂ 平面 CBE ，∴PQ ∥平面 CBE.平面与平面平行的判定[典例] 已知，点 P 是△ABC 所在平面外一点，点 A ′，B ′，C △′分别是 PBC ，△P AC ，△P AB 的重心．(1)求证：平面 A ′B ′C ′∥平面 ABC.(2)求 A ′B ′∶AB 的值．[解] (1)证明：如图，连接 P A ′，并延长交 BC 于点 M ，连接 PB ′，并延长交 AC 于点 N ，连接 PC ′，并延长交 AB 于点 Q ，连接 MN ，NQ .∵A ′，B ′，C △′分别是 PBC ，△P AC ，△P AB 的重心，P A ′ PB ′ A ′M B ′N∴A ′B ′∥MN .同理可得 B ′C ′∥NQ .∵A ′B ′∥MN ，MN ⊂ 平面 ABC ，A ′B ′⊄平面 ABC ，∴A ′B ′∥平面 ABC.同理可证 B ′C ′∥平面 ABC.即 A ′B ′＝ MN .∵M ，N 分别是 BC ，AC 的中点，∴MN ＝ AB.∴A ′B ′＝ MN ＝ × AB ＝ AB ，(2)由(1)知 A ′B ′∥MN ，且 ＝＝ ， ∴A ′B ′1 1＝，即 A ′B ′∶AB 的值为 .又∵A ′B ′∩B ′C ′＝B ′，A ′B ′⊂ 平面 A ′B ′C ′，B ′C ′⊂ 平面 A ′B ′C ′，∴平面 A ′B ′C ′∥平面 ABC.A ′B ′ P A ′ 2MN PM 323122 2 1 13 3 2 3AB 33两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．[活学活用]如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，E ，F ，G ，H 分别 是 AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1 的中点． 求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面 EFA 1∥平面 BCHG. 证明：(1)∵GH 是 △A 1B 1C 1 的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又 B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC.∵EF ⊄平面 BCHG ，BC ⊂ 平面 BCHG ，∴EF ∥平面 BCHG.∵A 1G 綊 EB ，∴四边形 A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB.∵A 1E ⊄平面 BCHG ，GB ⊂ 平面 BCHG ， ∴A 1E ∥平面 BCHG.∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面 EFA 1∥平面 BCHG.平行中探索存在性问题[典例] 在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，D ，E 分别是线段 BC ，CC 1 的中所以MD綊AC，OE綊AC，点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．[解]如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知，O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，1122因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．[活学活用]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.解：由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．层级一学业水平达标1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项βB与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．2．已知α，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是() A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是()A．平行C．直线AC在平面DEF内B．相交D．不能确定解析：选A∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b ⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是()A．平行C．平行或相交B．相交D．以上都不对解析：选C根据图1和图2可知α与β平行或相交．5．如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是()解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．答案：l⊄α7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.求证：平面P AB∥平面EFG.证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，又∵CD∥AB，∴EF∥AB.又EF⊄平面P AB，∴EF∥平面P AB.同理可证EG∥平面P AB.又∵EF∩EG＝E，∴平面P AB∥平面EFG.10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.层级二应试能力达标1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A画出相应的截面如图所示，即可得答案．3．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有()A．3个C．9个B．6个D．12个解析：选A因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有()A．0个C．无数个B．1个D．以上都有可能解析：选D若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．5．已知三棱柱ABC-A1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．解析：∵D ，E ，F 分别是棱 AA 1，BB 1，CC 1 的中点， ∴在平行四边形 AA 1B 1B 与平行四边形 BB 1C 1C 中，DE ∥AB ，EF ∥BC ，∴DE ∥平面 ABC ，EF ∥平面 ABC.又 DE ∩EF ＝E ，∴平面 DEF ∥平面 ABC.答案：平行6.如图是一几何体的平面展开图，其中 ABCD 为正方形，E ，F ，G ，H 分别为 P A ，PD ，PC ，PB 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面 EFGH ∥平面 ABCD ；②直线 P A ∥平面 BDG ；③直线EF ∥平面 PBC ；④直线 EF ∥平面 BDG.其中正确的序号是________．解析：作出立体图形，可知平面 EFGH ∥平面 ABCD ；P A ∥平面 BDG ；EF ∥HG ，所以 EF ∥平面 PBC ；直线 EF 与平面 BDG 不平行．答案：①②③7.如图所示，在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，S 是 B 1D 1 的中点，E ，F ， G 分别是 BC ，DC 和 SC 的中点．求证：平面 EFG ∥平面 BDD 1B 1.证明：如图所示，连接 SB ，SD ，∵F ，G 分别是 DC ，SC 的中点，∴FG ∥SD .又∵SD ⊂ 平面 BDD 1B 1，FG ⊄平面 BDD 1B 1， ∴FG ∥平面 BDD 1B 1.同理可证 EG ∥平面 BDD 1B 1， 又∵EG ⊂ 平面 EFG ，FG ⊂ 平面 EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面 EFG ∥平面 BDD 1B 1.8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD ，点 E 在 PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱 PC 上是否存在一点 F ，使 BF ∥平面 AEC ？若存在，请证明你的结论，并说出点 F 的位置；若不存在，请说明理由．解：当 F 是棱 PC 的中点时，BF ∥平面 AEC.证明如下：取 PE 的中点M ，连接 FM ，则 FM ∥CE.因为 FM ⊄平面 AEC ，EC ⊂ 平面 AEC ，所以 FM ∥平面 AEC.由EM＝PE＝ED，得E为MD的中点，连接BM，BD，12设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．连接OE，则BM∥OE.因为BM平面AEC，OE⊂平面AEC，所以BM∥平面AEC.又因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，FM∩BM＝M，所以平面BFM∥平面AEC，所以平面BFM内的任何直线与平面AEC均没有公共点．又BF⊂平面BFM，所以BF与平面AEC没有公共点，所以BF∥平面AEC.2．2.3&2.2.4直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质预习课本P58～61，思考并完成以下问题1．线面平行的性质定理是什么？2．面面平行的性质定理是什么？3．面面平行还有哪些性质？[新知初探]1．直线与平面平行的性质(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：α∩β＝b ⎭β∩γ＝b ⎭a ∥α⎫⎪a ⊂ β ⎬⇒ a ∥b .⎪[点睛] 定理中有三个条件：①直线 a 和平面 α 平行，即 a ∥α；②直线 a 在平面 β 内，即a ⊂ β；③平面 α，β 相交，即 α∩β＝b .三个条件缺一不可．2．平面与平面平行的性质(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：α∥β⎫⎪α∩γ＝a ⎬⇒ a ∥b .⎪[点睛] (1)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线 a ∥平面 α，直线 a ∥直线 b ，则直线 b ∥平面 α( )(2)若直线 a ∥平面 α，则直线 a 与平面 α 内任意一条直线都无公共点( )(3)若 α∥β，则平面 α 内有无数条互相平行的直线平行于平面 β( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂ 平面 α，CD 平面 α，则直线 CD 与平面 α 内的直线的位置关系只能是()A ．平行C ．平行或相交B ．平行或异面D ．异面或相交解析：选 B 由题意，CD ∥α，则平面 α 内的直线与 CD 可能平行，也可能异面．3．过正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的顶点 A 1，C 1，B 的平面与底面 ABCD 所在的平面的交线为l ，则 l 与 A 1C 1 的位置关系是________．解析：由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.答案：平行线面平行性质的应用[典例]如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明]如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又∵点M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.∵平面P AHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面P AHG，∴AP∥GH.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．[活学活用]如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形.面面平行性质的应用α，M ，N 分别在线段 AB ，CD 上，且 ＝.求证：MN ∥α. 连接 NP ，DE ，则 ＝ .∵AM CN AP CN ＝ ，∴＝.[典例] 如图所示，已知三棱柱 ABC-A ′B ′C ′中，D 是 BC 的中点，D ′是B ′C ′的中点，设平面 A ′D ′B ∩平面 ABC ＝a ，平面 ADC ′∩平面 A ′B ′C ′＝b ，判断直线 a ，b 的位置关系，并证明．[解] 直线 a ，b 的位置关系是平行．∵平面 ABC ∥平面 A ′B ′C ′，平面 A ′D ′B ∩平面 ABC ＝a ， 平面 A ′D ′B ∩平面 A ′B ′C ′＝A ′D ′， ∴A ′D ′∥a ，同理可得 AD ∥b .又 D 是 BC 的中点，D ′是 B ′C ′的中点，∴DD ′綊 BB ′，而 BB ′綊 AA ′，∴DD ′綊 AA ′， ∴四边形 AA ′D ′D 为平行四边形， ∴A ′D ′∥AD ，因此 a ∥b .利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)； (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论．[活学活用]如图，平面 α∥平面 β，AB ，CD 是两异面直线，且 A ，C ∈β，B ，C ∈AM CNMB ND证明：如图，过点A 作 AE ∥CD ，AE ∩α＝E ，连接 BE ，在平面 ABE 内作MP ∥BE ，MP 交 AE 于 P ，AM APMB PEMB ND PE ND ∵平面 α∥平面 β，平面 ACDE ∩α＝ED ，平面 ACDE ∩β＝AC ，∴AC ∥ED ，∴PN ∥ED.∵PN ⊄α，ED ⊂ α，∴PN ∥α.∵PM ∥BE ，PM ⊄α，BE ⊂ α，∴PM ∥α.又PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面α.∵MN⊂平面PMN，∴MN∥α.平行关系的综合应用[典例]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的证明：A1E＝EF＝FC.[证明](1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C交点E，F，并与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．＝MB1NBPB NBl l [活学活用]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CM CP.MB1PB∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴∴CM DN＝，CP DN＝，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.层级一学业水平达标1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点解析：选A因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，∥b，∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()α∥c ⎫⎪ α∥γ⎫⎪α∥c⎫⎪a∥γ⎫⎪⎭⎭B ．24 或 解析：选 B由 α∥β 得 AB ∥CD.分两种情况：若点 P 在 α，β 的同侧，则 ＝ ，∴PB＝ ，∴BD ＝ ；若点 P 在 α，β 之间，则有 ＝ ，∴PB ＝16，∴BD ＝24.A ．GH ∥SAB ．GH ∥SDC ．GH ∥SCD ．以上均有可能解析：选 B因为 GH ∥平面 SCD ，GH ⊂ 平面 SBD ，平面 SBD ∩平面 SCD ＝SD ，所以 GH∥SD ，显然 GH 与 SA ，SC 均不平行，故选 B.3．在空间四边形 ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是 AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当 BD ∥平面 EFGH 时，下列结论中正确的是()A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是 CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且 DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且 BF ∶FC ＝DG ∶GC解析：选 D 由于 BD ∥平面 EFGH ，由线面平行的性质定理，有 BD ∥EH ，BD ∥FG ，则 AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且 BF ∶FC ＝DG ∶GC.4．已知 a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ 为三个不重合的平面，现给出四个命题：①③⎬⇒ α∥β； β∥c ⎪⎭⎬⇒ a ∥α； a ∥c ⎪ ②④ ⎬⇒ α∥β； β∥γ⎪⎭⎬⇒ a ∥β.β∥γ⎪其中正确的命题是()A ．①②③C ．②B ．①④D ．①③④解析：选 C ①α 与 β 有可能相交；②正确；③有可能 a ⊂ α；④有可能 a ⊂ β.故选 C. 5．已知平面 α∥平面 β，P 是 α，β 外一点，过点 P 的直线 m 与 α，β 分别交于 A ，C 两点，过点 P 的直线 n 与 α，β 分别交于 B ，D 两点，且 P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则 BD 的长为( )A ．16C ．14D ．2024 5P A PBPC PD16 24 P A PB5 5 PC PD6.如图，在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB ＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF ∥平面 AB 1C ，则线段 EF 的长度等于________．EF ＝ AC ＝ 2.BD 上的点，且 ＝ ，求证：MN ∥平面 SBC.证明：在 AB 上取一点 P ，使AP ＝AM，连接 MP ，NP ，则 MP ∥SB.又 AM DN AP DN ＝ ，∴ ＝ ，∴NP ∥AD .解析：∵在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又 E 为 AD 的中点，EF ∥平 面 AB 1C ，EF ⊂ 平面 ADC ，平面 ADC ∩平面 AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为 DC 的中点，∴ 12答案： 27．过三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB 1A 1 平行的直线共 有________条．解析：记 AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1 的中点分别为 E ，F ，E 1，F 1，则直线 EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1 均与平面 ABB 1A 1 平行，故符合题意的直线共有 6 条．答案：68．已知 a ，b 表示两条直线，α，β，γ 表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若 α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，且 a ∥b ，则 α∥β；②若 a ，b 相交且都在 α，β 外，a ∥α，b ∥β，则 α∥β；③若 a ∥α，a ∥β，则 α∥β；④若 a ⊂ α，a ∥β，α∩β＝b ，则 a ∥b .其中正确命题的序号是________．解析：①错误，α 与 β 也可能相交；②正确，设 a ，b 确定的平面为 γ，依题意，得 γ∥α，γ∥β，故 α∥β；③错误，α 与 β 也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．答案：②④9.如图，S 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是 SA ，AM DNSM NBBP SM∵SB ⊂ 平面 SBC ，MP ⊄平面 SBC ，∴MP ∥平面 SBC.SM NB BP NB ∵AD ∥BC ，∴NP ∥BC.又 BC ⊂ 平面 SBC ，NP ⊄平面 SBC ，∴NP ∥平面 SBC.又 MP ∩NP ＝P ，∴平面 MNP ∥平面 SBC ，而 MN ⊂ 平面 MNP ，∴MN ∥平面 SBC.10.如图所示，四边形 ABCD 是矩形，P ∉平面 ABCD ，过 BC 作平BCFE 交 AP 于点 E ，交 DP 于点 F ，求证：四边形 BCFE 为梯形．面证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴BC ∥AD .∵AD ⊂ 平面 APD ，BC 平面 APD ，∴BC ∥平面 APD.又平面 BCFE ∩平面 APD ＝EF ，∴BC ∥EF ，∴AD ∥EF.又 E ，F 是△APD 边上的点，∴EF ≠AD ，∴EF ≠BC.∴四边形 BCFE 是梯形．层级二 应试能力达标1．已知平面 α，β，直线 a ，b ，c ，若 a ⊂ α，b ⊂ α，c ⊂ α，a ∥b ∥c ，且 a ∥β，b ∥β，c∥β，则平面 α 与 β 的位置关系是()A ．平行C ．平行或相交B ．相交D ．以上都不对解析：选 C 由题意可知，平面 α 内不一定有两条相交直线与平面 β 平行，所以平面 α与 β 有可能平行，也有可能相交．2．已知直线 a ∥平面 α，直线 b ⊂ 平面 α，则()A ．a ∥bC ．a 与 b 相交B ．a 与 b 异面D ．a 与 b 无公共点解析：选 D 由题意可知直线 a 与平面 α 无公共点，所以 a 与 b 平行或异面，所以两者无公共点．3．已知平面 α∥平面 β，a ⊂ α，b ⊂ β，则直线 a ，b 的位置关系是()A ．平行C ．异面B ．相交D ．平行或异面解析：选 D ∵平面 α∥平面 β，∴平面 α 与平面 β 没有公共点．∵a ⊂ α，b ⊂ β，∴直线a ，b 没有公共点，∴直线 a ，b 的位置关系是平行或异面．4.如图所示，P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 α∥平面 ABC ，α 分别交线段 P A ，PB ，PC 于 A ′，B ′，C ′，若 P A ′∶AA ′＝2∶3，则 △A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为()A ．2∶5C ．4∶9B ．3∶8D ．4∶25解析：选 D∵平面 α∥平面 ABC ，平面 P AB ∩α＝A ′B ′，平面 P AB ∩平面 ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB.又∵P A ′∶AA ′＝2∶3，∴A ′B ′∶AB ＝P A ′∶P A ＝2∶5.同理 B ′C ′∶BC ＝A ′C ′∶AC ＝2∶5.∴ △A ′B ′C △′与 ABC 相似，∴△S A ′B ′C ′∶△S ABC ＝4∶25. 5.如图，四边形 ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且 AB ∥平面 α，M 是 AC 的中点，BD 与平面 αAC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5.(2)由(1)易知PQ＝D1C＝m.同理，EH＝FG＝n，∴m＝n，∴AE∶EB＝m∶n.22交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.解析：∵AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.又M是12答案：56.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且A C∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.解析：∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝BE AE BE AEAB AB AB AB答案：m∶n7.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.解：(1)证明：如图所示．连接AC，CD1，∵P，Q分别是AD1，AC的中点，∴PQ∥CD1.又PQ平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.12a.(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，又FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接所以 MN ∥EC ，MN ＝ EC ＝1，MN ，NF.因为 BF ∥平面 AA 1C 1C ，BF ⊂ 平面 FBMN ，平面 FBMN ∩平面 AA 1C 1C ＝MN ，所以 BF ∥MN .又 MB ∥平面 AEF ，MB ⊂ 平面 FBMN ，平面 FBMN ∩平面 AEF ＝FN ，所以 MB ∥FN ，所以 BFNM 是平行四边形，所以 MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1.而 EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，12故 MN 是△ACE 的中位线．所以 M 是 AC 的中点时，MB ∥平面 AEF.。