高等数学IIB
第3次作业
二、主观题(共6道小题) 5. 利用极坐标计算下列各题：
(1)
2
2
x y D
e d σ+∬，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域；
解：利用极坐标变换，2
22
2
2
2
4
00
1
44[](1)2
r r I d re dr d e e ππ
θθπ===-⎰⎰⎰
(2)
，其中D 是圆环闭区域：≤
≤
解：利用极坐标变换， I=4
6. 计算下列对弧长的曲线积分：
(1)
2
2()n L
x y ds +∮
，其中L 为圆周cos ,sin (02)x a t y a t t π==≤≤
解：
222
2222210
(cos sin )2n n I a
t a t a adt a π
π
π+=
+=⋅=⎰⎰
(2) ()L
x y ds +⎰
，其中L 为连接(1,0)，(0,1)两点的直线段
解：
1
(1I x x =+-=
=⎰7. 计算下列对坐标的曲线积分：
(1) 22
()L
x y dx -⎰
， 其中L 是抛物线2
y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；
解：2
22
24
3
5200
1156()()[]3
515
L
I x y dx x x dx x x =-=-=-
=-⎰
⎰
(2) L
ydx xdy +⎰
， 其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==对应t 从0到
2
π
的一段弧；
解：
2
2
2220
2
2
2
200
sin (sin )cos cos (cos sin )1cos 2[sin 2]0
2L
I ydx xdy R tR t dt R tR tdt R t t dt
R tdt R t πππ
π
=+=-+=-===⎰⎰⎰⎰
(3)
22()()L
x y dx x y dy x y +--+⎰， 其中L 为圆周222
x y a +=(按逆时针方向绕行)。

解：:cos ,sin ,02L x a y a θθθπ==≤≤
222
(cos sin )(sin )(cos sin )cos 2a a a a I d d a π
π
θθθθθθ
θθπ+---=
=-=-⎰
⎰
8. 利用格林公式， 计算下列曲线积分：
(1)(24)(536)L
x y dx y x dy -+++-∮
， 其中L 为三顶点分别为(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；
解：设 D 为由分段光滑曲线 L 围成, 令24,536P x y Q y x =-+=+-， 显然, P 、 Q 在 D 上具有一阶连续偏导数，L 取向为 D 的正向边界曲线。

原式1
(
)[3(1)]432122D
D
Q P dxdy dxdy x y ∂∂=
-=--=⋅⋅⋅=∂∂∬∬ (2) 2
2
()(sin )L
x y dx x y dy --+⎰
，其中L
是在圆周y 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧
解：令22
,(sin )P x y Q x y =-=-+， 则
1P Q
y x
∂∂=-=∂∂, 因此原曲线积分与路径无关，取:,01L y x x =≤≤,
则原式1
22
11sin 2sin 27
(2sin )132446
L
Pdx Qdy x x x dx =+=--=
--+=-⎰⎰
9. 判别下列级数的收敛性：
(1)23
238888(1)999
9
n
n
n -+-+
+-+
解： 此级数为等比级数，其公比8,||19
q q =-<，
因此此级数收敛于88
8998117
1()9
q -
-
=
=----
(2) 223311111111()(
)()()23
232323n n
+++++++++ 解： 此级数的一般项为：1123n n n u =+，令1211
,23
n n n n u u ==
因此12n n n u u u =+，而1n u 为公比11
2
q =
2n u 为公比21
3
q =的几何级数, 且12||1,||1q q <<
所以这两个几何级数收敛， 故该级数也收敛， 且1211
3
321121123
S S S =+=+=--
(3)
11
1
2536
(1)(4)
n n +++
+
⋅⋅++
解：因为1111111111115
()()(1)(3)
2142232312n
n n
n k k k S k k k k n n =====-=+
--→+++
+++∑
∑∑
所以该级数收敛。

10. 判别下列级数是否收敛? 如果是收敛的， 是绝对收敛还是条件收敛?
(1)1-
+
解：因为1
1
|(1)
||n n n u ---== 而级数1n
∞=发散，
所以1
1
|(1)|n n n u ∞
-=-∑
但1n n u u +=
>=，且lim 0n n n u →∞==，所以该级数是条件收敛的
(2)
1
11
(1)3
n n n n
∞
--=-∑ 解：因为1
11|||(1)
|33n n n n n n u ---=-=，111311lim ||lim lim 1333
n n n n n n n u n n u n n -+→∞→∞→∞++=⋅==<
故绝对值级数
1
||n
n u
∞
=∑收敛，所以该级数绝对收敛。