角平分线专题【类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板)906030(︒︒︒、、和)904545(︒︒︒、、如图(1)放置在平面直角坐标系中,点A 在y 轴正半轴上,直角边AC 与y 轴重合,斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点,8=AC .(1)把图1中的AED Rt ∆绕A 点顺时针旋转α度)900(︒<≤α得图2,此时AGH ∆的面积是10,AHF ∆的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标;(2)如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M,EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N,当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变?若改变,请说明理由;若不改变,请求出其值.检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A ，B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值。

xy检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．【类型二】点在线，垂两边例2、如图（1），ABCCD⊥，垂足为D。

AF平分CABACB，AB∠，交CD于点∠90Rt∆中，︒=E，交CB于点F。

（1）求证：CFCE=。

（2）将图（1）中的ADEAD∆的位置，使点E落在BC边上，其它条件不∆沿AB向右平移到''E'变，如图（2）所示。

试猜想：'BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论。

检测1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB,BC＝6cm,BD＝4cm,那么点D到直线A B的距离是_________．检测2、已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AP平分∠BAC。

【类型三】线被垂，顺势延例3、如图，已知等腰Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BD 是∠ABC 的平分线，从C 向BD 作垂线，垂足为E.求证：BD ＝2CE.变式、如图,ODC ∆中,︒=∠90D ,EC 是DCO ∠的平分线,CE OE ⊥,点E 作OC EF ⊥于点F,判断E F 与OD 之间的数量关系,并加以证明.例4、如图(a)所示,BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线,过点A 作BD AD ⊥,CE AE ⊥,垂足分别为D 、E,连接DE,求证:BC DE //,)(21AC BC AB DE ++=;(2)如图(b)所示,BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线,其他条件不变;(3)如图(c)所示,BD 为△ABC 的内角平分线,CE 为△ABC 的外角平分线,其他条件不变;则在图(b)、图(c)两种情况下,DE 与BC 还平行吗?它与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜测,并对其中一种情况进行证明.检测1、如图,△ABC 中,AD 平分BAC ∠,AD CD ⊥于D,G 为BC 的中点,求证:(1)AB DG //;(2))(21AC AB DG -=.检测2、如图,在△ABC 中,AC AB 3=,BAC ∠的平分线交BC 于点D,过点B 作AD BE ⊥,垂足为E,求证:DE AD =.【类型四】遇平行，等腰现例5、(1)已知:在△ABC 中,AC AB =,BD 平分ABC ∠,CD 平分ACB ∠,过点D 作BC EF //,分别交AB 、AC 于E 、F 两点(如图1).图中共有________个等腰三角形,分别是__________;EF 与BE 、CF 之间的关系是_______．(2)若将(1)中“△ABC,AC AB =”改为“若△ABC 为不等边三角形”,其余条件不变(如图2),则图中共有_________个等腰三角形,分别是_________;EF 与BE,CF 之间的关系是________．AC AB >ABC ∠CD ACG ∠点作BC DE //,分别交AB 、AC 于E 、F 两点,则EF 与BE 、CF 之间有何关系?写出你的结论,并加以证明(4)已知:如图4,点D 在△ABC 外,BD,CD 分别平分△ABC 的外角GBC ∠和HCB ∠,过点D 作B C //DE ,分别交BG,CH 于E,F 两点,则EF 与BE,CF 之间存在怎样的关系?写出你的结论,并加以证明.检测1、(1)如图(a)所示，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 之长为__________。

(2)如图(b) 所示在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE ∥AB ，FD ∥AC ，如果BC=6，则△DEF 的周长为_________。

检测2、如图,已知直线CD AB //,︒=∠=∠100C A ,E 、F 在CD 上,且满足ABD DBF ∠=∠,BE 平分CBF ∠.(1)求DBE ∠的度数.(2)若平行移动AD,那么BDC BFC ∠∠:的比值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律;若不变,求出这个比值.(3)在平行移动AD 的过程中,是否存在某种情况,使ADB BEC ∠=∠若存在,求出其度数;若不存在,请说明理由.检测3、如图，梯形ABCD 中AD//BC ，半圆O 的直径在BC 上，且与另三边相切，如果AB=2，C D=3，则BC=（ ）。

【类型五】截一边，造全等例6、阅读下列学习材料：如图(a)所示，OP平分∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点。

连接AC，在射线ON上截取OB =OA，连接BC(如图(b)所示)，易证△AOC≌△BOC。

请根据上面的学习材料，解答下列各题：（1）如图(c)所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由。

（2）如图(d)所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。

例7、如图所示，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，求证：AC＋CD＝AB.变式1、如图所示，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：BC=BD＋AD.变式2、已知,如图ACABBC+∠交AC于D,求证:CD=.A,BD平分ABC=AB=,︒∠108【综合练习】1、在平行四边形ABCD中，BAD∠的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。

（1）在图1中证明CE=CF。

（2）若︒∠的度数。

ABC，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG=∠90（3）若︒=∠120ABC ，CE FG //，CE FG =，分别连接DB 、DG （如图3），求BDG ∠的度数。

2、如图:已知︒=∠=∠9DAC BAD ,AE AD ⊥,且BE AC AB =+.则B ∠=______．【家庭作业】1、如图，∠MON=90°，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上运动，BE 平分∠NBA ，BE 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点C ．则∠C 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2、如图所示，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动。

（1）如图1，已知AE、BE分别是BAO∠的角平分线，点A、B在运动的过程中，AEB∠和ABO∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出AEB∠的大小。

（2）如图2，已AB不平行CD，AD、BC分别是BAP∠的角平分线，AD、BC的延长线∠和ABM交于点F。

ADC∠的角平分线CE相交于点E。

∠的角平分线DE和BCD①点A、B在运动的过程中，F∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由。

②点A、B在运动的过程中，CED∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由。

3、已知，如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D=180°，BC=CD.求证：AC平分∠BAD4、已知：如图，∠BAD=∠CAD ，AB ＞AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点．求证：DH=21（AB-AC ）．5、如图,在ABC ∆中,AC AB 3=,BAC ∠的平分线交BC 于点D,过点B 作AD BE ⊥,垂足为E,求证:DE AD =.6、如图,ODC ∆中,︒=∠90D ,EC 是DCO ∠的平分线,CE OE ⊥,点E 作OC EF ⊥于点F,判断EF 与OD 之间的数量关系,并加以证明.7、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F.请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；(3)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问：你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.8、如图，在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA ，∠ABC的外角角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P，求证：∠APB=∠CPD9、已知：如下图，在四边形中，BC＞AB，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°.10、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，求证：BC=DC.。