小挠度微分方程
d2w 0,M 0
dx 2
d2w 0,M 0 dx 2
d2w M dx 2 EI
d2w M dx2 EI
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
采用向下的w坐标系，有
d2w M dx2 EI
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
1＝M
EI
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
挠度与转角的相互关系
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改 变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w 表示；
变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度， 称为转角（slope），用表示；
位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性 的。尽管变形和位移都是弹性的，但在工程设计中， 对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性 位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发 生刚度失效。
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时 (图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的 挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合， 以致不能正常工作。
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移 梁的小挠度微分方程及其积分 叠加法确定梁的挠度与转角 弯曲刚度计算 简单的静不定梁 结论与讨论
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第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
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第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
梁的曲率与位移 挠度与转角的相互关系 梁的位移分析的工程意义
第8章 弯曲刚度
d2w M
dx2 EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程
M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠
度方程与转角方程：
dw dx
l
M x
EI
dx
C
w
l
l
M x
EI
dx
dx
Cx
D
其中C、D为积分常数。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
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第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程 小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
力学中的曲率公式
1M
EI
数学中的曲率公式
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是 指约束对于挠度和转角的限制：
在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于 零：w=0;
同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动 的过程中产生很大的噪声。
此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也 将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大 大增加，降低轴和轴承的使用寿命。
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是 限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度 失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如， 各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的 板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很 大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变 形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到 抗振和抗冲击的效果。
梁的变形与梁的位移
梁的曲率与位移
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕 中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线， 这一曲线称为梁的挠度曲线（deflection curve）。
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
梁的曲率与位移
根据上一章所得到的结果， 弹性范围内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横截面上的 弯矩、弯曲刚度之间存在下列 关系：
另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的变 形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为 一例。这种情形下也需要研究变形。
此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充 方程。
第8章 弯曲刚度
本章将在上一章得到的曲率公式的基础上，建立梁的 挠度曲线微分方程；进而利用微分方程的积分以及相应的 边界条件确定挠度曲线方程。在此基础上，介绍工程上常 用的计算梁变形的叠加法。此外，还将讨论简单的静不定 梁的求解问题。
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
在Oxw坐标系中，挠度与转角存 在下列关系：
dw tan
dx
在小变形条件下，挠度曲线较为
平坦，即很小，因而上式中tan。
于是有
dw
dx w＝ w（x），称为挠度方程（deflection equation）。
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
梁的位移分析的工程意义
第8章 弯曲刚度
梁的变形与梁的位移
挠度与转角的相互关系
பைடு நூலகம்
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变 称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：
横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位 移（horizontal displacement），用u表示。
在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相 比为高阶小量，故通常不予考虑。
（优选）工程力学静力学与材 料力学弯曲刚度
清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室
工程力学(静力学与材料力学）
课堂教学软件(4)
2020年8月31日
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工程力学（静力学与材料力学）
第二篇 材料力学
第8章 弯曲刚度
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第8章 弯曲刚度
上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁的 轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正 常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的 结构构件进行设计时，除了满足强度要求外，还必须满足 一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此， 必须分析和计算梁的变形。
d2w
1
dx 2
3
1
dw
2
2
dx
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
小挠度情形下
dw
2
dx
1
d2w
1
dx2
3
1
dw dx
2
2
d2w M dx2 EI
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负 号与w坐标的取向有关。
第8章 弯曲刚度
梁的小挠度微分方程及其积分