V∞ y
无滑移边界条件 y = 0时，u = 0
a=0
前缘
δ(x)
层流 x
边界层与势流衔接处， y = δ 时，u = V∞
V∞ = bδ + cδ + dδ
2 3
y = δ 时，τ = 0
流体力学
du τ =μ =0 dy
顺流平板层流边界层4
b + 2cδ + 3dδ 2 = 0
y V∞ 前缘 δ(x) 层流 x
∞ 0
δ* = ∫
u (1 − )dy U
δ*
μ=0 u=U
边界层内由粘性影响减少的流量＝理想流 体流过物面时表面向外移动 δ*减少的流量
δ =∫
*
δ
0
u (1 − )dy U
流体力学
边界层内的厚度4
动量损失厚度
y dy y
u = u(y)
U
U
θ
μ≠0
μ=0 u=U
边界层内由于粘性的影响，动量流量比 理想流体流经该区域时有所减少
固体壁面上 y = 0 时
∂ u U dU =− 2 ν dx ∂y
2
dU =0 由 dx
∂ u = 2c = 0 2 ∂y
2
3V∞ V∞ a=c=0 , b= , d=− 3 2δ 2δ
流体力学
顺流平板层流边界层5
V∞ u= 2δ ⎛ y3 ⎞ ⎜3y − 2 ⎟ δ ⎠ ⎝
补充方程2－壁面切应力方程
3 ∞
= 1.771 ρμaV b
边界层内的流动状态1
V∞ 层流边界层 转捩区
紊流边界层 x
平板前缘开始
x ↑, δ ↑, Re ↑
层流边界层 转捩点 紊流边界层
流体力学
边界层内的流动状态2
边界层流动状态的判据
Re x = Ux
Uδ
ν
Reδ =
ν
其中，x 为物面上一点到前缘的距离 顺流平板
流体力学
(Re x )cr = 3 × 105 ~ 3 × 106
解：沿边 a 方向拖动
1 2 D = C D ρV∞ A × 2 2
Ua b a
其中：V∞ = U a
Re l =
流体力学
A = ab
Uaa
ν
1.328 1.328 = CD = Re l Uaa ν
顺流平板层流边界层－例题1
1.328 2 3 Da = ρU a ab = 1.328 ρb U a aν Uaa ν
假设 定常不可压 二元边界层 物面曲率很小
B x y U A
C
δ
δ+ dδ
D x+ dx
x
CV所受外力之和＝净流出CV的动量流率
流体力学
边界层动量积分方程2
控制体在 x 方向所 受合力
dp Fx = −δ dx − τ w dx dx
y U A
pAC
C
α
δ δ+ dδ
p
B x
τw
p+ dp
D x+ dx x
1.328 CD = Re l
3 dD = 0.664 ρμV∞
(a − ay b ) dy
流体力学
顺流平板层流边界层－例题2
由流动的对称性，以 及三角形平板两侧均 受阻力
V∞ y x o dy l x a 2b
D = 4∫
b 0
1.328 a ⎞ ⎛ 3 ρμV∞ ⎜ a − y ⎟ dy b ⎠ 2 ⎝
2
)
(∫ )
δ
0
udy = −τ w + δρ U
dU dx
边界上速度分布 U 只是 x 的函数
d ρU dx
流体力学
(∫ )
δ
0
δ d dU udy = ρ U ∫ udy − ρ 0 dx dx
(
)
∫
δ
0
udy
边界层动量积分方程的其它形式2
d =ρ dx
(∫
δ
0
dU Uudy − ρ dx
)
∫
第八章 粘性不可压缩流体绕物体 的流动
内流
在固壁限定的空间内流动
管流、通道流、各种动力设备内部流动
外流
流体从物体外部流过
飞机在大气中飞行，潜艇在水中航行
流体力学
概述1
粘性、不可压、定常、绕流
边界层的概念、动量积分方程、曲壁边界 层分离、绕流物体的升力、阻力
基础知识
不可压缩流体积分形式控制方程， 园管内速度的幂次分布规律，雷诺 数，理想流体圆柱绕流
控制体 x 方向动量的净流出率
d dx
流体力学
(∫
δ
0
d ρ u dy dx − U dx
2
)
(∫
δ
0
ρ udy dx
)
边界层动量积分方程3
边界层动量积分方程
d dx
(∫
δ
0
d ρ u dy − U dx
2
)
(∫
δ
0
dp ρ udy = −τ w − δ dx
)
适用条件 不可压定常 二元边界层，物面曲率很小 对层流边界层和紊流边界层均适用
⎛ du ⎞ τw = μ ⎜ ⎟ ⎝ dy ⎠ y=0
d δ u dx ∫0 V∞
流体力学
3 V∞ τw = μ 2 δ
⎛ u ⎜1 − V∞ ⎝ ⎞ τw ⎟ dy = 2 ρV∞ ⎠
顺流平板层流边界层6
1 2 140 μ x+C δ = 2 13 ρV∞
边界条件
x = 0时， δ = 0
μ x δ = 4.641 ρV∞
ρ xV∞ 由 Re x = μ
流体力学
δ = 4.641
x Re x
顺流平板层流边界层7
μ x δ = 4.641 ρV∞
δ = 4.641
x Re x
层流边界层厚度与流体性质、来流速度 及距前缘的距离有关
δ ∝ x1 2
壁面切应力
流体力学
3 V∞ τw = μ 2 δ
顺流平板层流边界层8
τ w = 0.3232 μρV
δ
0
udy
代入边界层动量积分方程
d ρ dx
(∫
δ
0
d u dy − ρ dx
2
)
(∫

δ
0
dU Uudy + ρ dx
)
∫
δ
0
udy
dU dU = −τ w + ρ = −τ w + δρ U dx dx
∫
δ
0
Udy
d ⎡ δ 2 ⎤ − ρ dU ⎡ δ (U − u) dy ⎤ = −τ Uu − u ) dy −ρ w ⎥ ⎢ ∫0 ( ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ dx ⎢ ∫0 dx ⎣
∂u ∂u dU ∂ u u +v =U +ν 2 ∂x ∂y dx ∂y
2
y = 0时，u = 0，v = 0
流体力学
∂2u U dU =− 2 ν dx ∂y
速度分布在边界上应满足的条件4
∂u ∂u dU ∂ 2u u +v =U +ν 2 ∂x ∂y dx ∂y
对 y 求导
∂ u ⎛ ∂u ∂ v ⎞ ∂2u ∂2u ∂3u ⎜ ∂x + ∂y ⎟ + u ∂x ∂y + v ∂y 2 = ν ∂y 3 ∂y ⎝ ⎠
流体力学
顺流平板层流边界层10
C D = 1.293 1 Re L
层流边界层微分方程勃拉休斯精确解
边界层厚度 平板阻力系数
流体力学
μ δ = 5.0 x ρV∞
CD = 1.328 Re L
顺流平板层流边界层－例题1
例：矩形平板边长为a和b，若在静止流体中沿边 例：矩形平板边长为a和b，若在静止流体中沿边 a方向以Uaa拖动平板与沿边b方向以Ubb拖动平 a方向以U 拖动平板与沿边b方向以U 拖动平 板的阻力相等，求Uaa//Ubb，层流边界层。 板的阻力相等，求U U ，层流边界层。
从物面沿外法线到速度达到势流速度99% 处的距离 边界层厚度沿流动方向不断增大
流体力学
边界层内的厚度2
位移厚度
y dy y
u = u(y)
U
U
δ*
μ≠0
μ=0 u=U
边界层内由于粘性的影响，质量流量比 理想流体流经该区域时有所减少
流体力学
边界层内的厚度3
位移厚度 (排挤厚度)
Uδ
*
U
=∫
∞ 0
(U − u)dy
由
流体力学
θ =∫
δ
0
u u (1 − )dy U U
δ = ∫ (1 −
∗ 0
δ
u )dy U
动量积分方程的其它形式
d dU 2 ρ (U θ ) + ρ Uδ ∗ = τ w dx dx
或
τw dθ 1 dU ∗ + ( 2θ + δ ) = ρU 2 dx U dx
令 H = δ ∗ θ 形状因子
y = 0时，u = 0，v = 0
流体力学
∂3u =0 3 ∂y
8.4 顺流平板层流边界层
问题
均匀来流
V∞ = C p∞ = C
V∞ 前缘 δ(x) 层流 x y
粘性、不可压、定常、二元 层流边界层，板长为L
边界层积分 方程
流体力学
τw dθ 1 dU ∗ + ( 2θ + δ ) = ρU 2 dx U dx
由 Da = Db
1.328 ρb U aν = 1.328 ρa U bν