For personal use only in study and research; not for commercial use2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第六章For personal use only in study and research; not for commercial use一、选择题1. 微分方程xy y 2='的通解为 （ ） A. C ey x +=2； B. 2x Ce y =；For personal use only in study and research; not for commercial useC. 2C x y e =； D. x Ce y =.2. 函数221x c y c e +=是微分方程20y y y '''--=的 （ ） A. 通解； B. 特解；C. 不是解；D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解.3. 设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，21,C C 是任意常数，则该方程的通解是 （ ）A. 32211y y C y C ++；B. 3212211)(y C C y C y C +-+；C. 3212211)1(y C C y C y C ---+；D. 3212211)1(y C C y C y C --++. 4. 微分方程22y x y y x +=+'是 （ ）A. 可分离变量的微分方程；B. 齐次微分方程；C. 一阶线性齐次微分方程；D. 一阶线性非齐次微分方程.二、填空题1. 微分方程y y y x ln ='的通解是 .2. 方程x y y sin 2='的奇解为_______________.3. 微分方程05532='-+y x x 的通解是 .4. 微分方程02520422=+-s dt dsdts d 的通解为 .三、解答题1. 求微分方程xy dxdy2=的通解. 2. 求下列一阶微分方程满足所给初始条件的特解． （1）xxx y dx dy sin =+，1)(=πy ； （2）x e y y x -=-'2，45)0(=y ．3. 解方程：x e y x cos 2-='''.4. 求方程83=+y dxdy满足初始条件20==x y 的特解.5. 求微分方程x e y y 24=-''的通解.6. 求微分方程xxe y y y 265=+'-''的通解. 7.设函数)()1(2x u x y +=是方程3)1(12+=+-'x x yy 的通解，求)(x u .8. 求下列贝努利方程的通解．（1）0234'2=++y x xy y x ； （2）012=++-'y xyy . 9. 求齐次方程dy xy x dx xy y )2()2(22-=-的通解．10. 求解下列初值问题： 1)(2='+''y y ，0)0(=y ，0)0(='y ． 11. 求微分方程1'''2=+xy y x 通解． 12. 求下列方程的通解．（1）054=-'-''y y y ； （2）054=-'-''y y ； （3）xe x y y y 2244=+'-''； （4）x y y y 2sin 82=-'+''．2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第六章参考答案一、选择题1. B ；2. D ；3. D ；4. B ； 二、填空题1.Cx e y =；2.0=y ；3.C x x y ++=232151； 4. t e t C C s 2521)(+=.三、解答题1.解 原方程为分离变量的微分方程，分离变量可得x d x ydy2=， 两边积分：⎰⎰=xdx y dy 2，得12ln C x y +=，其中1C 为任意常数，整理有：2x Ce y =，其中C 为任意常数. 2.解： （1）该方程的通解为 ]s i n [11C dx e xx ey dxx dxx +⎰⎰=⎰-=]sin [ln ln C dx e x x ey x x+=⎰-=)sin (1⎰+C xdx x =)cos (1C x x+-， 又1)(=πy ，得1-=πC ，故满足条件1)(=πy 的特解为)1cos (1-+-=πx x y . （2）4121])([222++-=⎰⎰-+=-⎰x e Ce e dx e x e C y x x dx dx x， 将45)0(=y 代人，得2=C ，故所求特解为412122++-=x e e y xx ．3. 解：对所给方程接连积分三次得，12sin 21C x e y x+-=''，22cos 41C Cx x e y x +++='，)2( sin 81132212C C C x C x C x e y x =++++=.4. 解：原方程可变形为y dx dy38-=，分离变量可得dx ydy =-38， 两边积分：1383ln C x y +-=-，其中1C 为任意常数，所以383+=-xCey ，代入初始条件20==x y 有：32-=C ，则满足条件的特解为32833x y e -=-+. 5. 解：原方程所对应的齐次方程为04=-''y y ，其特征方程为042=-λ，解得特征根为2±=λ，所以方程04=-''y y 的通解为x x e C e C 2221+=-γ. 又x e x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，于是可设原方程的特解为x axe y 2*=. x e x a y 2)21()*(+='，x e x a y 2)1(4)*(+=''.代入原方程 x x x e a x e e x a 2224)1(4=-+， x x e ae 224=，于是41=a ， 所以xxe y 241*=，于是原方程的通解为x x x xe e C e C y y 2222141*++=+=-γ.6. 解：原方程所对应的齐次方程为065=+'-''y y y ，其特征方程为0652=+-λλ，解得特征根为32或=λ，所以方程065=+'-''y y y 的通解为x x e C e C 3221+=γ. 又x xe x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，可设原方程的特解为x e b ax x y 2)(*+=.把它代入原方程，得 x b a ax =-+-22，比较等式两边同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212b a a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，因此求得一个特解为xe x x y 2)121(*--=， 从而所求的通解为x xxe x x eC eC y y 223221)2(*+-+=+=γ.7. 解 对函数)()1(2x u x y +=求导，得)()1()()1(22x u x x u x y '+++='，将其与y 一起代入所给的微分方程，得32)1()()1(2)()1()()1(2+=+-'+++x x u x x u x x u x ，x x u +='1)(，故C x x u ++=2)1(21)(． 8. 解 （1）方程两边同时除以32y x ，并整理得22211)1(x y x y=⋅-'，由一阶微分方程的求解公式，有 32221][1x Cx C dx e x e yx dxx dx+=+⎰⎰=-⎰．（2）方程两边同时除以2y ，并整理得11)1(1)1(=⋅++'yx y ，由一阶微分方程的求解公式，有 211][111x x C e dx e C y x dxxdx +++=⎰⎰+=+-+⎰． 10. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'p p ，分离变量，得dx pdp=-21，两边积分，得 C x p p +=-+2|11|ln ．将0)0(='y 代人，得0=C ，故x pp2|11|ln =-+，或1122+-=x x e e p ，故)1ln(112122x xx e x C dx e e y ++-=+-=⎰．将0)0(=y 代入，得2ln 1-=C ．故所求初值问题的解为chx e x y x ln )1ln(2ln 2=++--=．11. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'xp p x ，即211xp x dx dp =+，由一阶微分方程的求解公式，有 )(ln 1]1[12C x x C dx e xep x dxxdx +=+⎰⎰=⎰-．即 )(ln 1]1[12C x x C dx e xey x dxxdx+=+⎰⎰='⎰-，两边积分，得2121ln ln 21)(ln 1C x C x dx C x x y ++=+=⎰．12. 解 （1）该二阶常系数线性齐次方程的特征方程为0542=--λλ，得两个不相等的实特征根1-和5，于是该方程的通解为x xe C eC y 521+=-．（2）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为042=-λλ，得两个不相等的实特征根0和4，故其对应齐次方程的通解为xe C C y 421+=．为了求得该方程的一个特解，设Ax y =*代人原方程，得054=--A ，45-=A ，于是该方程的通解为x e C C y x45421-+=． （3）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为0442=+-λλ，得两个相等的实特征根2，故其对应齐次方程的通解为xe x C C y 221)(+=．为了求得该方程的一个特解，设x e C Bx Ax x y 222)(*++=代人原方程，得121=A ，0=B ，0=C ，该方程的通解为xxe x e x C C y 24221121)(++=． （4）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为022=-+λλ，得两个不相等的实特征根2-和1，故其对应齐次方程的通解为x x e C e C y 221-+=．为了求得该方程的一个特解，设x B x A y 2sin 2cos *+=代人原方程，得 52-=A ，56-=B ，于是该方程的通解为 x x e C e C y x x 2sin 562cos 52221--+=-．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。