•基本概念
决策变量（Decision variables ） 它是决策变量的函数 目标函数（Objective function） 约束条件（Constraint conditions ） 指决策变量取值时受到 可行域（Feasible region) 的各种资源条件的限制 ，通常表达为含决策变 最优解（Optimal solution) 量的等式或不等式。
1935年，英国科学家R.Watson-Wart发明了雷达。丘吉尔 命令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密雷达站。
1939年由P.M.S.Blackett（著名物理学家）为首，组织 了一个小组，代号“Blackett马戏团”。研究的问题是：设计 将雷达信息传送到指挥系统和武器系统的最佳方式；雷达与武 器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与武器 的协调，作了系统的研究，并获得成功。
第一章 线形规划
本章学习重点
线性规划是运筹学中比较成熟的一个分支 ，它具有成熟而有效的求解方法，可以借助于 计算机进行求解，在军事、经济等领域中具有 广泛的应用。学习本章，要掌握线性规划的数 学模型（建模以及把不同形式的线性规划问题 化为标准形式的方法）、求解方法。
上页 下页 返回
第一节
线性规划问题 及其数学模型
• 一组有待决策的变量 （指模型中要求解的未知量） • 一个线性的目标函数 （指模型中要达到的目标的数学表达式） • 一组线性的约束条件 （指模型中的变量取值所需要满足的一切限制 条件）
上页
下页
返回
线性规划模型的一般形式
Max (min) z c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn (, )b1 a x a x ... a x (, )b 21 1 22 2 2n n 2 ................................................... a x a x ... a x (, )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 ,..., xn ( , )0
上页 下页 返回
建模步骤：
• 第一步：确定决策变量
x1：生产产品甲的数量（吨） x2：生产产品乙的数量（吨）
上述变量为由决策者决定的未知量，称 为决策变量。
上页 下页 返回
• 第二步：确定目标函数
以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为：
线性规划问题的提出 线性规划的数学模型 线性规划的基本概念 线性规划问题的标准形式
继续
返回
•问题的提出
• 引例: 生产计划问题
设备 原材料 A 原材料 B 利润
甲 1 4 0 2
乙 2 0 4 3
资源限量 8 台时 16kg 12kg
上页
下页
返回
如何安排生产 使利润最大
？
产品
产品
甲
乙
上页
下页
返回
线性规划研究的内容
• 在现有的资源条件下，如何充分利用资 源，使任务或目标完成得最好（求极大 化问题）。
• 在给定目标下，如何以最少的资源消耗 ，实现这个目标（求极小化问题）。
上页
下页
返回
• 第1步 -确定决策变量
•设
x1 ——甲的产量 x 2 ——乙的产量
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
由一支综合性的队伍 ，采用科学的方法，为一些涉及 到有机系统（人-机）的控制系统问题提供解答，为该 系统的总目标服务的学科。 ——钱学森等
学科体系
运筹学已经形成了一个庞大的学科体系，其具体内容主要包括： 规划论（包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划）、决 策论、对策论、排队论、存储论、网络分析等。
上页 下页 返回
目标函数最大 约束条件等式 线性规划问题的标准形式 决策变量非负 • 标准形式为: 右端常数项非负
Max Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 .......................................... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 b1 , b2 ,...bm 0 x1 , x2 ,..., xn 0
x1
x2
上页
下页
返回
第2步 --定义目标函数
z ——利润
Max Z =
x1 +
x2
上页
下页
返回
第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
上页
下页
返回
对我们有 何限制?
上页
下页
返回
第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1、 x2 0
max z＝7 x1十5 x2
这就是该问题的目标函数。
上页 下页 返回
• 第三步：确定约束条件
本例的约束条件为三种资源的限制用量。对各 个限制条件逐一加以分析，写出反映其限制关 系的表达式（等式或不等式），从而得到约束 条件。
资源A限制：3 x1十2 x2 ≤ 90 资源B限制；4 x1十6 x2 ≤ 200 资源C限制： 7 x2 ≤ 210 此外，产量x1和x2不能为负，只能取正值 非负条件： x1 ≥0， x2 ≥ 0
数学模型举例：
Max（Min） z＝7 x1+5 x2 3 x1+2 x2 ≤ 90 4 x1+6 x2 ≤ 200 7 x2 ≤ 210 x 1≥0 ，x 2≥0
2．研究方法
01 ①
从现实生活场合抽出本质的要素来构造数学模 型； 探索求解的结构并导出系统的求解过程； 从可行方案中寻求系统的最优解法。
上页
下页
返回
例2(书)
某厂生产甲乙两种产品，已知制成一吨产品 甲需用资源A 3吨，资源B 4m3；制成一吨产品乙 需用资源A 2吨，资源B 6m3，资源c 7个单位。 若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万 元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210 个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能 使创造的总经济价值最高?
一、中国古代的运筹学思想
中国《史记》中的“运筹帷幄之中，决胜千 里之外”表达了中国古代运筹学思想，在古代中 国有许多运筹学思想的应用案例，如丁谓修宫、 田忌赛马等，都蕴藏着神奇的运筹学思想，这些 案例至今仍有很高的参考和借鉴价值。
1．丁谓修宫
宋朝《梦溪笔谈》中记载了这样一个故事：北宋真宗 年间，皇宫失火，皇帝召各大臣商议如何在很短的时间内 修复好皇宫，而修复皇宫包括取土烧砖，运输建筑材料， 清理废墟三大工程，但在当时的条件下，这是相当繁重的 工程，大家都无以言答。当时有个叫丁谓的大臣，他提出 了一个一举三得的方案 取土问题 木材和石料运输问题 建筑垃圾处理问题
设备 原材料 A 原材料 B 利润 甲 1 4 0 2 乙 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
上页
下页
返回
该计划的数学模型
目标函数
约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
x1
x2
上页 下页 返回
运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：“依照
给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”，故有 人称之为最优化技术。 1938 年 英 国 最 早 出 现 了 军 事 运 筹 学 ， 命 名 为 “Operational Research”,1942 年，美国从事这方面工 作的科学家命其名为“Operations Research”，这个名 字一直延用至今。
系
统
工程A第一 绪一、运筹学的形成与发展
论
二、运筹学模型及分析步骤
三、运筹学的定义及学科体系 学习目的 学习本章要了解运筹学的形成和发展历史、典型案 例，以及运筹学研究的主要内容等。
第一节
运筹学的形成和发展
运筹学（ Operations Research ）是系统工程的最重要
的理论基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学 (Management Science)。
“Blackett马戏团”在秘密报告中使用了“Operational Research”，即“运筹学”。
第二节、运筹学模型及分析步骤
1．模型
运筹学模型是用一些数学关系（数学方程、逻辑关系等） 来描述被研究对象的实际关系（技术关系、物理定律、外部环 境等）。 运筹学模型的一个显著特点是它们大部分为最优化模型。 一般来说，运筹学模型都有一个目标函数和一系列的约束条件， 模型的目标是在满足约束条件的前提下使目标函数最大化或最 小化。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值 满足约束条件的决 策变量的取值范围
上页 下页 返回
问题中要确定的未知量，表 明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定 和控制。
线性规划问题的共同特征
• 一组决策变量X表示一个方案,一般X大 于等于零。 • 约束条件是线性等式或不等式。 • 目标函数是线性的。 求目标函数最大 化或最小化
02 ②
03 ③
3 ．运筹学解决问题的方法步骤
明确问题
• 明确问题 • 建立模型 • 设计算法 • 整理数据 • 求解模型 • 评价结果
建立模型 设计算法 整理数据 求解模型
Yes