E ( R1 r R2 ) 2π 0 r
max 2π 0 R1
要使电容器存储能量最多，则内圆柱表面的电场强 度达最大，大小为 由 Emax Eb
得
max Eb 2π 0 R1
两极间的电势差为 U max max 2 π 0
由电容器的能量公式 We 1 QU 2
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§6. 4 电容 电容器 三、电容器的串联和并联
１.电容器的并联 对电容器C1有：Q1 C1U1 对电容器C2有： Q2 C2U 2 因为
C1
＋
+Q1 -Q1 +Q2 -Q2

Q Q1 Q2
C2
U1 U 2 U
所以 C
U
(3) C
Q Q1 Q2 C1 C2 U U
U
设某一时刻极板上的电荷为q,极板间的电压为u, 这时, 将电荷dq从负极板移至正极板, 必须有外力F; 外力F克服电场力所做的功为
-------
E
+ dq
Fe
q dW F d Edq d Ed dq udq dq C
1 W C
将电容器充电至带电量为Q，外力做的总功

R2
R1
dr max R ln 2 r 2 π 0 R1
-+ R1 l -+ - + R2 -+ _
_ _
_
2 1 R 得单位长度的电场能量为 we maxU max ln 2 2 4 π 0 R1
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+++ _ + + _ +++ _
_
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§6. 5
单位长度的电场能量为
- + RA -+ R B -+ -+
Q E , ( RA r RB ) 2 π 0 r 2 π 0 rl
（iii）两柱面之间的电势差为
U
（iv）电容

RB
RA
dr Q R ln B 2π 0 r 2π 0l RA
Q RB C 2π 0l ln U RA
Q2 1 1 We QU CU 2 2C 2 2
- - --Q ----
E
+ dq
电场能的单位: 当C为法(F), Q为库仑(C) , U为伏特时(V), We的单位为焦耳(J) 2. 电容器中的能量密度
1 S 1 CU 2 ( Ed ) 2 2 2 d 电容器的单位体积的能量（能量密度）为

Q
0
Q2 1 1 qdq QU CU 2 2C 2 2
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§6. 5
2
静电场能量 能量密度 +Q +++++++
充电过程中, 外力所做的功为
Q 1 1 W QU CU 2 2C 2 2
外力所做的功以能量的形式贮存在电容器中. 因此, 电容器贮存的能量
U
(1)
Q E 0 0S
AB
d
A
（iii）两带电极板间的电势差为,
U E dl Ed
S
Qd U Ed 0S
（iv）平行板电容器电容
+ + + + + +
Q
(1)
Q
- B -
Q S C 0 U d
务必记住(1)式
思考:若平行板间充满相对电容率为r的介质, C =?
因此，孤立带电导体球周围空间贮存的总能量为
Q2 We 8 π R1
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§6. 5
静电场能量 能量密度
例2 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击穿场强是 Eb=3106V· m-1，
电容器外半径R2=10-2m. 在空气不被击穿的情况下, 内半径R1= ? 可使 电容器存储能量最多. (空气r1 ) . 设电容器的内圆柱单位长度带正电，电容器中的电场强度为,
U2
+Q U
等效图
U U1 U 2
所以
即
U U1 U 2 Q Q Q
＋
-Q

U U1 U 2 Q Q1 Q2
1 1 1 C C1 C2
(5)
即
同理对二个以上电容器的串联有
1 1 1 1 C C1 C2 C3
(6)
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§6. 5
静电场能量 能量密度
球壳间充以电容率为的电介质；问此电容器贮存的电场能量为多少？
解 根据高斯定理, 可得两球壳间的电场强度为
E 1 Q e 2 r 4 π r ( R1 r R2 )
R1
dr
R2
1 2 Q2 两球壳间的能量密度为 we E 2 32π 2 r 4
能量密度具有球对称性, 因此在厚度为dr的球壳内的能量为
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电容 电容器 例1 平行平板电容器的极板是边长为 l 的正方形，两板之间的距离d=1mm. 如两极板的电势差为100V，要使极板上储存10-4C的电荷,边长 l 应
取多大才行.
§6. 4
解
Q 104 C F 106 F U 100
由平行板电容器电容公式 得 因为
§6. 4
电容 电容器
一、孤立导体的电容
1. 电容的定义: 孤立导体所带的电荷Q与它的电势V的比值.
Q
C
Q V
R
电容C只由导体的大小和形状决定, 与导体所带电量和电势无关.
2. 电容的单位
国际单位制中：法拉 ( 符号为 F) 微法F:
1F 1C/V
1F 106 F; 皮法pF : 1pF 1012 F
与所带电荷量无关.
三、电容器电容的计算
2）求两极板所产生的电场 E ；
3）求两极板之间的电势差U； 4）求电容 C = Q/U. 下面计算几种常见的电容器的电容.
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1）设两极板分别带电 Q；
§6. 4
1. 平行板电容器
电容 电容器
（i）设两导体板分别带电Q ; （ii）两带电平行板间的电场强度为,
(3)
l
特别地, 当
d RB RA RA , 有
平行板电容器电容
C
2 0l 2 0l 2 π 0lRA 0 S d d d d ln(1 ) RA RA
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思考:若两圆柱面间充满相对电容率为r的介质, C =?
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§6. 4
电容 电容器
将 得
静电场能量 能量密度 2 1 R2 max we maxU ln 2 4 π 0 R1
代入上式
max 2 π 0 Eb R1
2 b 2 1
R2 we π 0 E R ln R1
dwe R 2 π 0 Eb R1 (2 ln 2 1) 0 dR1 R1
Q Q
二、电容器和电容器的电容
1.电容器: 由两个能够带有等值、
异号电荷的导体组成的系统.
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VB
VA
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§6. 4
2.电容器电容
定义： C
电容 电容器
Q Q VA VB U AB
Q
Q
式中 U AB
E dl
AB
VB
VA
电容器电容的大小仅与导体的大小、形状、相对位置、其间的电介质有关.
2. 球形电容器的电容 球形电容器是由半径分别为R1和R2的两同心金属球壳所组成．
设内球带正电+Q, 外球带负电-Q． 由高斯定理可求得, 两球壳之间的电场强度为,
E
Q
4π 0 r 2
er
( R1 r R2 )
两球壳之间的电势差为
U E dl
l
Q 1 1 Q R R1 ( ) ( 2 ) 4 π 0 R1 R2 4 π 0 R1 R2
通过电磁场
发电厂的电能通过什么方式传至千家万户的？？ 表明电场具有能量； 如何计算电场的能量 ？
从分析平行板电容器的能量入手, 然后将结论推广至一般情况.
一、 电容器的能量
1. 电容器中的总能量
F
+++++++
如图, 平行板电容器, 开始不带电.
电容器充电, 等效为不断地将正电荷从负极板移到正极板.
因为 We
We We 1 2 E we Sd 2 V
能量密度由电场强度和介质的性质决定
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§6. 5
电容器中的能量密度
静电场能量 能量密度
we 1 E 2 2
将电容器的结论推广至一般电场的情况.
二、静电场的能量 能量密度
对任意介质中的静电场, 其能量密度为
C
0S
d
S
d
0
C
S l2
Cd
所以 l
0

10 6 10 3 12 8.85 10
113 10 .63m
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§6. 4
电容 电容器
2. 柱形电容器 （i）设两导体圆柱面单位长度上分别带电 =Q/L （ii）两柱面之间的电场强度为
l RB
102 6.07103 m 2.71828
令
-+ R1 l -+ - + R2 -+ _