2020年重庆市直属校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <3}，B ={x|x <1}，则A ∩B =( )A. {x|x <1}B. {x|x <3}C. {x|−3<x <1}D. {x|−3<x <3}2. 已知i 为虚数单位，则|3+2i|=( )A. √5B. √7C. √13D. 33. 已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=8，a 8=9，则a 5=( )A. 4√2B. 5C. 7D. 3√24. 设x ，y 满足约束条件{y +2≥0,x −2≤0,2x −y +1≥0,则z =x +y 的最大值与最小值的比值为( )A. −1B. −32C. −2D. −525. “算经十书”是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》，其中《九章算术》是最重要的一部．现从这10部算经中任取两部，取到《九章算术》的概率为( )A. 110B. 15C. 19D. 2156. 四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ∈PC ，F ∈PB ，PE⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AF//平面BDE ，则λ的值为( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 47. 函数y =cos3x+13x −3−x的图象大致为( )A. B. C. D.8.在(x+3y)(x−2y)5的展开式中，x2y4的系数为()A. −320B. −160C. 160D. 3209.函数的部分图象如图所示，则()A. f(x)=2cos(2x−π3)B. f(x)=2cos(2x+π3)C. f(x)=2cos(2x−π6)D. f(x)=2cos(2x+π6)10.已知PC为球O的直径，A，B是球面上两点，且AB=6，∠APC=∠BPC=π4，若球O的表面积为64π，则棱锥A−PBC的体积为()A. 8√7B. 24√7C. 4√33D. 2√21511.已知F1为双曲线C:x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B.若AB的中点为M(1,8)，则此双曲线C的离心率为() A. √3 B. 2 C. √5 D. √612.设函数f(x)={log2(−x),x<0,2x,x≥0,若关于x的方程f2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. [0,+∞)B. (0,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量p⃗=(2,−3)，q⃗=(x,2)，且p⃗⊥q⃗，则|p⃗+q⃗|的值为______ ．14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−2)=f(x+2)，且当x∈[−2,0]时，f(x)=3x−1，则f(9)=_____________．15.在数列{a n}中，a1=3，(a n+1−2)(a n−2)=2(n∈N∗)，则该数列的前2014项的和是______ ．16.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点F的直线l交C于A、B两点，交C的准线于点M，若F为AM的中点，则|AB|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a−c．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b=√3，求2a+c的最大值．18.如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=π，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，2O是AC与BE的交点，以BE为折痕把△ABE折起使点A到达点A1的位置，且A1C=1，如图2．(1)证明：平面A1BE⊥平面BCDE；(2)求二面角C−A1B−E的余弦值．19.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x−和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差s2．(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ,σ2)，令Y=X−μ，σ).则Y～N(0,1)，且P(X≤a)=P(Y≤a−μσ利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)．(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望．,0.773419≈0.0076.若Y～N(0,1)，则P(Y≤0.75)=0.7734．参考数据：√178≈40320.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−1,0)、F2(1,0)，上、下顶点分别为B1、B2，且△B1F1F2为等边三角形．(1)求椭圆E的方程；(2)设点M(4,0)，直线B1M与椭圆E相交于另一点A，证明：A，F2，B2三点共线．21.设函数f(x)=e x−1−x，求f(x)的单调区间．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54. (1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −a 2|+|x +2|，其中a ∈R ．(1)当a =−1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若∀x ∈R ，使得f(x)>3a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查描述法表示集合的定义，以及交集的运算．属于基础题．进行交集的运算即可．解：A∩B={x|−3<x<1}．故选：C．2.答案：C解析：本题考查了复数的模长概念，根据模长计算公式，即可得到结果．解：|3+2i|=2+22=√13．故选C．3.答案：D解析：本题主要考查等比数列的性质及通项公式，属于基础题．利用等比数列的性质及通项公式即可求解．解：依题，等比数列{a n}各项均为正数，则q>0，∵a1a2a3=a23=8，∴a2=2，∵a8=9，∴a8a2=q6=92，∴q3=3√22，∴a5=a2·q3=2×3√22=3√2．故选D．4.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：A(2,5)，B(−32,−2)由z=−x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+ z的截距最大，此时z最大值为7，经过B时取得最小值：−72则z=x+y的最大值与最小值的比值为：7−72=−2．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．5.答案：B解析：本题考查古典概型概率计算，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=9×(9+1)2=45，选择到《九章算术》包含的基本事件个数m=9，由此能求出选择到《九章算术》的概率．解：从十部书中随机选择两部书，基本事件总数n=9×(9+1)2=45，选择到《九章算术》包含的基本事件个数m=9，则选择到《九章算术》的概率是p=mn =945=15．故选B．6.答案：C解析：解：∵AF//平面BDE ，∴过点A 作AH//平面BDE ，交PC 于H ， 连结FH ，则得到平面AFH//平面BDE ，平面AFH ∩平面PBC =FH ， 平面BDE ∩平面PBC =BE ，由面面平行的性质得FH//BE ， ∵E ∈PC ，F ∈PB ，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OCOA =ECHE =1，∴EC =EH ，又PE =3EC ，∴PH =2HE ， 又∵PFFB =PHHE =2，∴λ=2． 故选：C ．通过证明面面平行，及面面平行的性质能求出λ的值．本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意面面平行的性质的灵活运用．7.答案：A解析： 【试题解析】考查函数奇偶性，利用特殊点即可选出答案． 本题考查了函数图象变换，是基础题． 解：函数y =cos3x+13x −3−x，由y =cos3x +1是偶函数，y =3x −3−x 是奇函数． 那么原函数就是奇函数，排除B 选项； 当时，y 的函数值是正，且变小，当x =π3时，函数值为0． 故选：A ．8.答案：B解析：解：(x −2y)5的展开式中第r +1项为T r+1=C 5r⋅(−2)r ⋅x 5−r ⋅y r ，令5−r =1，得r =4；令5−r =2，得r =3．∴在(x+3y)(x−2y)5展开式中x2y4的系数为C54⋅(−2)4+3×C53×(−2)3=−160．故选：B．利用展开式的通项公式求得x2y4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.答案：A解析：本题考查由函数y=Acos(ωx+φ)的图象求解析式，属于基础题．由f(x)的图象得周期，求得ω，代入特殊值求φ．解：由函数f(x)的图象可知：周期为4×(5π12−π6)=π，ω>0,所以，可得ω=2；代入(5π12,0)，可得，则，|φ|<π2，解得，所以，故选A．10.答案：A解析：本题考查三棱锥的体积的求法，线面垂直的判定，是中档题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运用．由题意知OP=OC=OA=OB=4，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=π4，∠PAC=∠PBC=π2，由此求出棱锥A−PBC的体积．解：如图，因PC为直径，则∠PAC=∠PBC=π2，则∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=π4，又O为PC中点，则AO⊥PC，BO⊥PC，又AO∩BO=O，AO⊂平面AOB，BO⊂平面AOB，∴PC⊥平面AOB，因球O的表面积为64π，则，可得球的半径为R=4，知OP=OC=OA=OB=4，AB=6，BP=BC=4√2，∴S△OAB=12×AB×ℎ=12×6×√42−32=3√7，∴棱锥A−PBC的体积V=13×PC×S△OAB=13×3√7×8=8√7．故选：A．11.答案：C解析：本题考查双曲线的性质及几何意义，求双曲线的离心率，考查运算化简的能力，属于中档题．由题意，不妨设F1A的方程为y=ab(x+c)，与双曲线的渐近线方程联立求得点A，B的坐标，再由AB的中点为M(1,8)可解得离心率．解：由题意，不妨设A在渐近线y=−bax上，则F1A的方程为y=ab(x+c)，与y=−ba x联立解得A(−a2c,abc)，与y=ba x联立解得B(−a2ca2−b2,−abca2−b2)，∵AB的中点为M(1,8)，∴{−a2c−a2ca2−b2=2①abc−abca2−b2=16②,结合a2+b2=c2，由①×8=②化简得b=2a，∴b2=4a2，则c2−a2=4a2，解得e=ca=√5．故选C．12.答案：D解析：本题考查了分段函数的应用及方程与函数的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用．由题意作函数f(x)的图象，由f2(x)−af(x)=0得f(x)=0或f(x)=a；从而解得．解：由题意作函数f(x)的图象如下，，∵f2(x)−af(x)=0，∴f(x)=0或f(x)=a；∵f(x)=0有且只有一个解，∴f(x)=a有且只有两个解，故a∈[1,+∞)；故选：D．13.答案：√26解析：解：∵p⃗⊥q⃗，∴p⃗⋅q⃗=0，即2x−3×2=0，解得x=3，∴q ⃗ =(3,2)，∴p ⃗ +q ⃗ =(5,−1)，∴|p ⃗ +q ⃗ |=√52+(−1)2=√26．由p⃗ ⊥q ⃗ ，得出p ⃗ ⋅q ⃗ =0，求出q ⃗ ，再求出p ⃗ +q ⃗ 和|p ⃗ +q ⃗ |即可． 本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用两向量垂直，它们的数量积为0，利用坐标求向量的模长，是基础题．14.答案：23解析：本题考查函数性质的应用，根据已知条件得到周期性，结合奇函数的性质即可求解，属于基础题.由题意可得函数f(x)的周期是4，结合f (x )为定义在R 上的奇函数，即可求得f(9).解：由f(x −2)=f(x +2)可得f[(x −2)+2]=f(x −2−2)，即f(x)=f(x −4)，所以函数f(x)的周期是4，因为函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ∈[−2,0]时，f(x)=3x −1，所以f(9)=f(1)=−f(−1)=−(3−1−1)=23．故答案为23． 15.答案：7049解析：解：在数列{a n }中，∵a 1=3，(a n+1−2)(a n −2)=2(n ∈N ∗)，∴(a n −2)(a n−1−2)=2，n ∈N ∗，n ≥2，以上两式相除，得a n+1−2a n−1−2=1，∴a n+1−2=a n−1−2，n ∈N ∗，n ≥2，∴数列{a n }是一个周期为2的周期数列，∵a 2−2=2a 1−2，a 1=3，∴a 2=4，∴S 2014=1007×(a 1+a 2)=1007×(3+4)=7049．故答案为：7049．由已知条件推导出a n+1−2a n−1−2=1，从而得到数列{a n }是一个周期为2的周期数列，由此能求出S 2014．本题考查数列的前2014项的和的求法，是中档题，解题时要关键是判断出数列{a n}是一个周期为2的周期数列．16.答案：323解析：解：如图，由抛物线C：y2=8x，得p=4，∵F为AM的中点，∴AE=2FG=2p=8，则x A=8−p2=6．由x A x B=p24=4，得x B=46=23，∴BF=x B+p2=23+2=83．∴|AB|=|AF|+|BF|=8+83=323．故答案为：323．由题意画出图形，结合已知求得AF，得到A的横坐标，进一步得到B的横坐标，得到BF，则答案可求．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．17.答案：解：(I)由已知以及正弦定理可得2sinBcosC=2sinA−sinC=2sin(B+C)−sinC=2sinBcosC+2cosBsinC−sinC，所以：2cosBsinC−sinC=0，由于：0<C<π，cosB=12，解得：B=π3．(II)∵b =√3，B =π3，A +C =π−B =2π3，则0<C <2π3， ∴由正弦定理可得：a =2sinA ，c =2sinC =2sin(2π3−A)，∴2a +c =4sinA +2sin(2π3−A)=5sinA +√3cosA =2√7sin(A +φ)≤2√7，其中tanφ=√35， 则2a +c 的最大值为2√7．解析：(Ⅰ)直接由已知条件和正弦定理求出B 的值；(Ⅱ)由已知可得2a +c =2√7sin(A +φ)，其中tanφ=√35，由正弦函数的性质即可求得2a +c 的最大值．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．18.答案：证明：(1)在图(1)中，∵AD//BC ，AB =BC =1，AD =2，E 是AD 的中点，∠BAD =π2，∴四边形ABCE 为正方形，∴BE ⊥AC ，AO =OC ，即在图2中，A 1O ⊥BE ，BE ⊥OC ，A 1O =OC =√22， ∵A 1C =1，∴在△A 1OC 中，A 1O 2+OC 2=A 1C 2，∴A 1O ⊥OC ，OC ∩BE =O,OC,BE ⊂平面BCDE ，∴A 1O ⊥平面BCDE ，∵A 1O ⊂平面A 1BE ，∴平面A 1BE ⊥平面BCDE ．解：(2)由(1)知OA 1，OB ，OC 互相垂直，分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵A 1B =A 1E =BC =ED =1，∴O(0,0，0)，B(√22,0，0)，A 1(0,0，√22)，C(0,√22,0)， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,−√22)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,0)， 设平面A 1BC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +√22y =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√22y −√22z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,1，1)， 易知OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,0)是平面A 1BE 的法向量， 设二面角C −A 1B −E 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√223⋅√22=√33． ∴二面角C −A 1B −E 的余弦值为√33．解析：(1)推导出BE ⊥AC ，AO =OC ，A 1O ⊥BE ，A 1O ⊥OC ，从而A 1O ⊥平面BCDE ，由此能证明平面A 1BE ⊥平面BCDE ．(2)分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −A 1B −E 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)x −=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9，s 2=(6−9)2×0.03+(7−9)2×0.1+(8−9)2×0.2+(9−9)2×0.35+(10−9)2×0.19+(11−9)2×0.09+(12−9)2×0.04=1.78；(2)(i)由题知μ=9，σ2=1.78，∴X ～N(9,1.78)，σ=√1.78=√17810≈43． ∴P(X ≤10)=P(Y ≤10−943)=P(Y ≤0.75)=0.7734；(ⅱ)由(i)知P(X >10)=1−P(X ≤10)=0.2266，可得Z ～B(20,0.2266)，P(Z ≥2)=1−P(Z =0)−P(Z =1)=1−0.773420−C 201×0.2266×0.773419=1−(0.7734+20×0.2266)×0.0076≈0.9597．∴Z 的数学期望E(Z)=20×0.2266=4.532．解析：(1)直接由平均数公式及方差公式求解；(2)(i)由题知μ=9，σ2=1.78，则X ～N(9,1.78)，求出σ，结合已知公式求解P(X ≤10)．(ⅱ)由(i)知P(X>10)=1−P(X≤10)=0.2266，可得Z～B(20,0.2266)，由P(Z≥2)=1−P(Z= 0)−P(Z=1)求解P(Z≥2)，再由正态分布的期望公式求Z的数学期望E(Z)．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．20.答案：解：(1)由题设知c=1，因为△B1F1F2为等边三角形，则a=2c=2，又a2=b2+c2，所以b=√3，则E的方程为x24+y23=1．(2)由(1)知B1(0,√3)，B2(0,−√3)，又M(4,0)，所以直线B1M：x4+√3=1，B1M与椭圆E的另一个交点A(85,3√35)，直线B2F2：x3=1，因为853√353=1，故点A在直线B2F2上．所以A，F2，B2三点共线．解析：本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用题设条件得a=2c，再结合a2=b2+c2，求得a，b即可；(2)由(1)得直线B1M的方程及直线B2F2的方程，即可得证．21.答案：解：由f(x)=e x−1−x，可得f′(x)=e x−1，当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0．故f(x)的单调减区间是(−∞,0)，单调增区间是(0,+∞)．解析：求出函数的导数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．本题考查函数的导数的应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数)， 转化为直角坐标方程为x 2−4y 2=1，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54， 转化为直角坐标方程为：12x −√32y =√54． (2)由于直线与x 轴的交点坐标为(√52,0)， 所以直线的参数方程为{x =√52+√32t y =12t (t 为参数)，代入x 2−4y 2=1得到：t 2−2√15t −1=0，所以t 1+t 2=2√15，t 1⋅t 2=−1，则1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2| =√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=8．解析：【试题解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换;(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)不等式f(x)≥6，即为|x +2|+|x −1|≥6，当x ≥1时，x +2+x −1≥6，可得x ≥52，即x ≥52；当x ≤−2时，−2−x −x +1≥6，解得x ≤−72，即x ≤−72；当−2<x <1时，2+x −x +1≥6，解得x ∈⌀．综上可得原不等式的解集为{x|x ≥52或x ≤−72}；(2)∀x ∈R ，使得f(x)>3a 恒成立，即有f (x )min >3a ，由|x−a2|+|x+2|≥|x−a2−x−2|=a2+2，当且仅当−2≤x≤a2时，等号成立，可得a2+2>3a，解得a>2或a<1．即实数a的取值范围是(−∞,1)∪(2,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(1)讨论当x≥1时，当x≤−2时，当−2<x<1时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min>3a，运用绝对值不等式的性质可得最小值，由二次不等式的解法可得a的范围．。