高二下期期末数学测试题
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（B ）
A． B． C． D．
2.曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（A）
A．B．2 C．3 D．0
3.曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ A ）A．B．C．D．1
4.已知函数与的图象如图所示，则（C）
A．在区间(0,1)上是减函数B．在区间(1,4)上是减函数
C．在区间上是减函数D．在区间上是减函数
5.设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（D ）
A．B．C．D．
6.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（A ）
A．B． C.D．
7.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91，现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则5个剩余分数的方差为（C ）
A．B． C. 6 D．30
8.在的展开式中，常数项是（D）
A．B．C．D．
9.由数字0，1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2018大的有（ B ）个
A．10 B．11 C．12 D．13
10.已知，在的图象上存在一点，使得在处作图象的切线，满足的斜率为，则的取值范围为（A ）
A．B．
C．D．
11.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧连续剧播放时长/min 广告播放时长/min 收视人次/万人
甲70 5 60
乙60 5 25
电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min，广告的总播放时长不少于
30min，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（A ）
A．6，3 B．5，2 C. 4，5 D．2，7
12.若直线（）和曲线（）的图象交于
，，（）三点时，曲线在点，点处的切线总是平行，则过点可作曲线的（C ）条切线
A．0 B．1 C．2 D．3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为 -5℃/h．
14.随机变量服从正态分布，若，则
0.259 ．
15.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随
机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．
16.若直线与曲线满足下列两个条件：（）直线在点处与曲线相切；（）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是___①③_____．（写出所有正确命题的编号）
①直线在点处“切过”曲线；
②直线在点处“切过”曲线；
③直线在点处“切过”曲线；
④直线在点处“切过”曲线．
①∵，，∴，∴曲线在点处切线为，
当时，，
当时，，
即曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；
②设，，
当时，，在是减函数，
当时，，在是增函数，
∴，即在上恒成立，
∴曲线总在直线下方，不合要求，②不正确；
③∵，，∴，
∴曲线在点处切线为，
设，，∴是减函数，
又∵，∴当时，，即，
曲线在切线的下方，
当，，即，
曲线在切线的上方，③正确；
④设，，
当时，，
当时，，函数在区间上是减函数，
当时，，函数在区间上是增函数，
∴，即在上是恒成立，
∴总在直线上方，不合要求，④不正确．综上，正确命题有①③．
三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,,共70分）
17.已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x
（1）求f′（x）
（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．
解：（1）f′（x）=4（2x﹣1）+5=8x+1；
（2）f′（2）=17，
故切线方程是：y﹣19=17（x﹣2），
即17x﹣y﹣15=0．
18.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.
（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考
飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤
的学生人数，求的分布列和数学期望.
解：（1)设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得：
解得，
又因为，所以.
(2)由（1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为，
由题意知服从二项分布，，
所以随机变量的分布列为
.
19某超市在元旦期间开展优惠酬宾活动，凡购物满100元可抽奖一次，满200元可抽奖两次…依此类推．抽奖箱中有7个白球和3个红球，其中3个红球上分别标有10元，10元，
20元字样．每次抽奖要从抽奖箱中有放回地
．．．．任摸一个球，若摸到红球，根据球上标注金额奖励现金；若摸到白球，没有任何奖励．
（Ⅰ）一次抽奖中，已知摸中了红球，求获得20元奖励的概率；
（Ⅱ）小明有两次抽奖机会，用表示他两次抽奖获得的现金总额，写出的分布列与数学期望．
解：（Ⅰ）设事件，事件
则所求概率为
（Ⅱ）的可能取值为0,10,20,30,40
∴的分布列为
所以，．
20.已知函数，（其中为自然对数的底数，）. （1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；
（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.
解（1），．（过程略）
（2）令，则，
当时，单调递增，而，∴时，不合题意
当时，令，则，
∵为减函数，∴时，，单调递增，
时，，单调递减，
∴，即．（△）但，等号成立当且仅当且．
故（△）式成立只能即．
21.第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.
(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；
(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.
①记表示选取4人的成绩的平均数,求；
②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.
(1)众数为76，中位数为76.
抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，
故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试
成绩在70分以上的约有（人）
(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.
当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.
一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种.
所以.
②由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4
,,
,,.
的分别列为
0 1 2 3 4
22.已知函数.
（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
（2）的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.
（1）依题意：，
在上递增，对恒成立，
即对恒成立，只需.
，，当且仅当时取“”，
，的取值范围为.
（2）由已知得两式相减，得. 由及，得
令，
，在上递减，.
则有，又，.。