假设1+2+3+ +100=x,
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
高斯
这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…，
n，…的前100项的和。
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问题3:
求:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
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探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题，不 能简单模仿偶数个项求和的办法， 需 要 把 中 间 项 11 看 成 首 、 尾 两 项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯 “首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项的情况求和。
有无简单的方法？
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-------知三求二
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课本P118:习题3.3 第七题 第九题
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21
1
问题2
一个堆放铅笔的V形架 的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它 下面一层多放一支，最 上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支 铅笔？
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
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问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁 时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1
2S n(n 1),
n(n 1)
S 2
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下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,…
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
这是一个等差数列, 各项的和是
S14
14 (7 98) 2
=735
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答: 集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.
小结：
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个
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问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃 所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而 成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界 七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案 之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同 大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见 左图），奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
；
用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式， 这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差 数列前n项和的两个公式.
n
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例1． 某长跑运动员7天里每天的训 练量（单位：m）是：
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，
记为｛an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
根据等差数列前n项和公式，得
7 (7500 10500)s7 2 Nhomakorabea3000
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答：这位长跑运动员7天共跑了63000m.
例2 等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是54？
本题实质是反用公式，解一 个关于n 的一元二次函数，注 意得到的项数n 必须是正整数.
因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和
是54.
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例3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且
m<100}的元素个数, 并求这些元素的和. 解: 由7n<100得 n<100／7, n 14 2 .
7
由于满足它的正整数n共有14个, ∴集合M中的元素共有14个. 即
7, 14, 21, … , 91, 98.
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解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
根据等差数列前n项和公式： sn =
na1 +
n(n 2
1) d
有- 10n + n(n- 1)? 4 54成立 2
整理后, 得n2 - 6n- 27 = 0
解得 n1=9, n２=－3(舍去)
由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
即 Sn=n(a1+an)/2
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即前n项的和与首项末项及项数有 关
若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？
因为 an= a1+（n-1）d 所以 Sn=na1+n (n-1)d/2
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
借助几何图形之 直观性，使用熟悉的 几何方法：把“全等 三角形”倒置，与原 图补成平行四边形。
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探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
s21

(1
21) 21 2
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由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn

n(a1 an ) 2
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
上面的公式又可以写成
Sn

na1

n(n 1) 2
d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
公式共涉及到5个量：a1, d, n, an , Sn.已知其中3个可求另2个
正所谓：知三求二 下一页
等差数列前n项和公式补充知识
【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 倒序相加法 ； ②{an}为等差数列 Sn=an2+bn，这是一个关于 n 的
没有 常数项 的“二次函数 ”（ 注意 a 还可以是 0）
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【公式记忆】 梯形的面积公式
等差数列的前n项和公式类同于
等差数列前n项和公式
复习回顾 问题呈现 例题讲解 小结与作业
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式:
已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d
已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq