学案2匀速圆周运动的向心力和向心加速度[目标定位]1.理解向心力的概念及其表达式的含义.2.知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用来进行计算.3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系，能够用向心加速度公式求解有关问题.一、什么是向心力[问题设计]分析图1甲、乙、丙中小球、地球和“旋转秋千”(模型)做匀速圆周运动时的受力情况，合力的方向如何？合力的方向与线速度方向有什么关系？合力的作用效果是什么？图1答案甲图中小球受绳的拉力、水平地面的支持力和重力的作用，合力等于绳对小球的拉力；乙图中地球受太阳的引力作用；丙图中秋千受重力和拉力共同作用.三图中合力的方向都沿半径指向圆心且与线速度的方向垂直，合力的作用效果是改变线速度的方向.[要点提炼]1.向心力：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力.2.向心力的方向：总是沿着半径指向圆心，始终与线速度的方向垂直，方向时刻改变，所以向心力是变力.3.向心力的作用：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小.4.向心力是效果力：向心力是根据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，或某个力的分力.注意：向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不能添加向心力.二、向心力的大小[问题设计]如图2所示，用手拉细绳使小球在光滑水平地面上做匀速圆周运动，在半径不变的的条件下，减小旋转的角速度感觉手拉绳的力怎样变化？在角速度不变的条件下增大旋转半径，手拉绳的力怎样变化？在旋转半径、角速度相同的情况下，换一个质量较大的铁球，拉力怎样变化？图2答案 变小；变大；变大. [要点提炼]1.匀速圆周运动的向心力公式为F ＝m v 2r ＝mω2r ＝mr (2πT)2.2.物体做匀速圆周运动的条件：合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，提供物体做圆周运动的向心力. 三、向心加速度 [问题设计]做匀速圆周运动的物体加速度沿什么方向？若角速度为ω、半径为r ，加速度多大？根据牛顿第二定律分析.答案 由牛顿第二定律知：F 合＝ma ＝mω2r ，故a ＝ω2r ，方向与速度方向垂直，指向圆心. 1.定义：做匀速圆周运动的物体，加速度的方向指向圆心，这个加速度称为向心加速度. 2.表达式：a ＝v 2r ＝rω2＝4π2T2r ＝ωv . 3.方向及作用：向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小.4.匀速圆周运动的性质：向心加速度的方向始终指向圆心，方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动. [延伸思考]甲同学认为由公式a ＝v 2r 知向心加速度a 与运动半径r 成反比；而乙同学认为由公式a ＝ω2r知向心加速度a 与运动半径r 成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点.答案 他们两人的观点都不正确.当v 一定时，a 与r 成反比；当ω一定时，a 与r 成正比.(a与r的关系图像如图所示)一、对向心力的理解例1关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，下列说法正确的是()A.因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力B.因向心力指向圆心，且与线速度的方向垂直，所以它不能改变线速度的大小C.它是物体所受的合力D.向心力和向心加速度的方向都是不变的解析做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合力，由于始终指向圆心，且与线速度垂直，故不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确.答案BC例2如图3所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点相对圆盘静止.关于小强的受力，下列说法正确的是()图3A.小强在P点不动，因此不受摩擦力作用B.若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力为零C.小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力D.如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心解析由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力，A、B错误，C正确；当小强随圆盘一起做变速圆周运动时，合力不再指向圆心，则其所受的摩擦力不再指向圆心，D错误.答案 C二、向心加速度的理解及计算例3 如图4所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S 到转动轴的距离是大轮半径的13.当大轮边缘上P 点的向心加速度是12 m/s 2时，大轮上的S 点和小轮边缘上的Q 点的向心加速度分别是多少？图4解析 同一轮子上的S 点和P 点角速度相同：ωS ＝ωP ，由向心加速度公式a ＝ω2r 可得：a Sa P ＝r S r P ，则a S ＝a P ·r S r P ＝12×13m /s 2＝4 m/s 2. 又因为皮带和两轮之间无相对滑动，所以两轮边缘各点线速度大小相等：v P ＝v Q . 由向心加速度公式a ＝v 2r 可得：a P a Q ＝r Q r P .则a Q ＝a P ·r P r Q ＝12×21 m /s 2＝24 m/s 2答案 4 m /s 2 24 m/s 2三、圆周运动的动力学问题例4 如图5所示，半径为r 的圆筒绕竖直中心轴OO ′旋转，小物块a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.现要使a 不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为( )图5A.μgrB.μgC.g rD.g μr解析 对物块a 受力分析知f ＝mg ，F 向＝N ＝mω2r ，又由于f≤μN，所以解这三个方程得角速度ω至少为gμr，D选项正确.答案D1.(对向心力的理解)下列关于向心力的说法中正确的是()A.物体受到向心力的作用才可能做圆周运动B.向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的合力D.向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢答案CD解析向心力是一种效果力，实际上是由某种或某几种性质力提供，受力分析时不添加向心力，A 、B 错，C 对.向心力只改变物体线速度的方向，不改变线速度的大小，D 对. 2.(向心力来源分析)在水平面上，小猴拉着小滑块做匀速圆周运动，O 点为圆心，能正确表示小滑块受到的牵引力F 及摩擦力f 的图是( )答案 A解析 滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，故滑动摩擦力的方向沿圆周的切线方向，B 、D 错误；小滑块做匀速圆周运动，其合力提供向心力，故A 正确，C 错误.3.(对向心加速度的理解)如图6所示为A 、B 两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A 为双曲线的一个分支，由图可知( )图6A.A 物体运动的线速度大小不变B.A 物体运动的角速度大小不变C.B 物体运动的角速度大小不变D.B 物体运动的角速度与半径成正比 答案 AC解析 因为A 为双曲线的一个分支，说明a 与r 成反比，由a ＝v 2r 可知，A 物体运动的线速度大小不变，故A 对，B 错；而OB 为过原点的直线，说明a 与r 成正比，由a ＝ω2r 可知，B 物体运动的角速度大小不变，故C 对，D 错.4.(圆周运动中的动力学问题)如图7所示，质量为1 kg 的小球用细绳悬挂于O 点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m /s ，已知球心到悬点的距离为1 m ，重力加速度g ＝10 m/s 2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小.图7答案 14 N解析 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg 和绳的拉力T 提供(如图所示)，即T －mg ＝m v 2r所以T ＝mg ＋m v 2r ＝(1×10＋1×221) N ＝14 N小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.题组一 对向心力的理解及其来源分析1.下列关于向心力的说法中正确的是( ) A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力 B.向心力会改变做圆周运动物体的速度大小 C.做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合力 D.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的 答案 C解析 当物体所受外力的合力始终有一分力垂直于速度方向时，物体就将做圆周运动，该分力即为向心力，故先有向心力然后才使物体做圆周运动.因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变速度的大小、只改变速度的方向，当合力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变、方向时刻改变，故向心力是变化的.2.如图1所示，为一在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，关于摆球A 的受力情况，下列说法中正确的是( )图1A.摆球A受重力、拉力和向心力的作用B.摆球A受拉力和向心力的作用C.摆球A受拉力和重力的作用D.摆球A所受合力只改变速度的方向，不改变速度的大小答案CD解析小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析，小球受重力和绳子的拉力，由于它们的合力总是指向圆心并使得小球在水平面内做圆周运动，故在物理学上，将这个合力叫做向心力，即向心力是按照力的效果命名的，这里是重力和拉力的合力.故选C、D.3.如图2所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体，物体随圆筒一起转动，物体所需的向心力由下面哪个力来提供()图2A.重力B.弹力C.静摩擦力D.滑动摩擦力答案B解析本题可用排除法.首先可排除A、D两项；若向心力由静摩擦力提供，则静摩擦力或其分力应指向圆心，这是不可能的，C错.故选B.4.如图3所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有()图3A.圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心B.圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心C.圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力D.圆盘对B的摩擦力和向心力答案B解析以A、B整体为研究对象，受重力、圆盘的支持力及圆盘对B的摩擦力，重力与支持力平衡，摩擦力提供向心力，即摩擦力指向圆心.以A为研究对象，受重力、B的支持力及B对A 的摩擦力，重力与支持力平衡，B 对A 的摩擦力提供A 做圆周运动的向心力，即方向指向圆心，由牛顿第三定律，A 对B 的摩擦力背离圆心，所以物体B 在水平方向受圆盘对B 指向圆心的摩擦力和A 对B 背离圆心的摩擦力，故B 正确.5.一个小物块从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑过程中由于摩擦力的作用，物块的速率恰好保持不变，如图4所示，下列说法中正确的是( )图4A.物块所受合外力为零B.物块所受合外力越来越大C.物块所受合外力大小保持不变，但方向时刻改变D.物块所受摩擦力大小变化 答案 CD解析 由于物块做匀速圆周运动，故合外力只改变物体的速度方向，故合外力时刻指向圆心，且大小保持不变，A 、B 错误，C 正确；对物块受力分析知物块所受摩擦力总是与重力沿切线方向的分力G 1相等，因随物块下滑G 1逐渐减小，故物块所受摩擦力也逐渐减小，D 正确. 题组二 对向心加速度的理解及其计算 6.关于向心加速度，下列说法中正确的是( ) A.向心加速度越大，物体速率变化得越快 B.向心加速度的大小与轨道半径成反比 C.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直 D.在匀速圆周运动中向心加速度是恒量 答案 C解析 向心加速度只改变速度方向，故A 错误.向心加速度可用a ＝v 2r 或a ＝ω2r 表示，不知线速度和角速度的变化情况，无法确定向心加速度的大小与轨道半径的关系，故B 错误.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，在圆周运动中始终指向圆心，方向在不断变化，不是恒量，故匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动，故C 正确，D 错误.7.如图5所示为摩擦传动装置，B 轮转动时带动A 轮跟着转动，已知转动过程中轮缘间无打滑现象，下列说法中正确的是( )图5A.A 、B 两轮转动的方向相同B.A 与B 转动方向相反C.A 、B 转动的角速度之比为1∶3D.A 、B 轮缘上点的向心加速度之比为3∶1 答案 BC解析 A 、B 两轮属齿轮传动，A 、B 两轮的转动方向相反，A 错，B 对.A 、B 两轮边缘的线速度大小相等，由ω＝v r 知，ω1ω2＝r 2r 1＝13，C 对.根据a ＝v 2r 得，a 1a 2＝r 2r 1＝13，D 错.8.如图6所示，一半径为R 的球体绕轴O 1O 2以角速度ω匀速转动，A 、B 为球体上两点.下列说法中正确的是( )图6A.A 、B 两点具有相同的角速度B.A 、B 两点具有相同的线速度C.A 、B 两点具有相同的向心加速度D.A 、B 两点的向心加速度方向都指向球心 答案 A解析 A 、B 两点随球体一起绕轴O 1O 2转动，转一周所用的时间相等，故角速度相等，有ωA ＝ωB ＝ω，选项A 正确.A 点做圆周运动的平面与轴O 1O 2垂直，交点为圆心，故A 点做圆周运动的半径为r A ＝R sin 60°；同理，B 点做圆周运动的半径为r B ＝R sin 30°，所以A 、B 两点的线速度分别为：v A ＝r A ω＝32Rω，v B ＝r B ω＝12Rω，显然v A ＞v B ，选项B 错误.A 、B 两点的向心加速度分别为：a A ＝r A ω2＝32Rω2，a B ＝r B ω2＝12Rω2，显然，A 、B 两点的向心加速度不相等，且它们的向心加速度方向指向各自平面的圆心，并不指向球心，故选项C 、D 错误.9.如图7所示，质量为m 的木块从半径为R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )图7A.加速度为零B.加速度恒定C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心答案 D解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D 正确，A 、B 、C 错误.10.一小球质量为m ，用长为L 的悬线(不可伸长，质量不计)固定于O 点，在O 点正下方L 2处钉有一颗光滑钉子.如图8所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则( )图8A.小球的角速度突然增大B.小球的线速度突然减小到零C.小球的向心加速度突然增大为原来的两倍D.悬线对小球的拉力突然增大为原来的两倍答案 AC解析 由于小球的线速度不能发生突变，而圆周运动的半径变为原来的一半，由v ＝ωr 知，角速度变为原来的两倍，A 正确，B 错误；由a ＝v 2r知，小球的向心加速度变为原来的两倍，C 正确；由F －mg ＝m v 2r知，悬线对小球的拉力突然增大，但不是原来的两倍，所以D 错误. 题组三 圆周运动中的动力学问题11.如图9所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )图9A.b 一定比a 先开始滑动B.a 、b 所受的摩擦力始终相等C.ω＝ kg 2l 是b 开始滑动的临界角速度D.当ω＝ kg 3l时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 最大静摩擦力相等，而b 需要的向心力较大，所以b 先滑动，A 项正确；在未滑动之前，a 、b 各自受到的摩擦力等于其向心力，因此b 受到的摩擦力大于a 受到的摩擦力，B 项错误；b 处于临界状态时，kmg ＝mω2·2l ，ω＝kg 2l ，C 项正确；当ω＝ kg 3l 时，对a ：f ＝mlω2＝ml kg 3l ＝13kmg ，D 项错误. 12.如图10所示，在光滑杆上穿着两个小球m 1、m 2，有m 1＝2m 2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r 1与r 2之比为( )图10A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.1∶2答案 D解析 设两球受细线的拉力分别为F 1、F 2.对m 1：F 1＝m 1ω21r 1对m 2：F 2＝m 2ω22r 2因为F1＝F2，ω1＝ω2解得r1r2＝m2m1＝12.13.如图11所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg 的木块，它与转台间最大静摩擦力f max ＝6.0 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O(孔光滑，忽略小滑轮的影响)，另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg 的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可能是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)()图11A.0.04 mB.0.08 mC.0.16 mD.0.32 m答案BCD解析当M有远离轴心运动的趋势时，有：mg＋f max＝Mω2r max当M有靠近轴心运动的趋势时，有：mg－f max＝Mω2r min解得：r max＝0.32 m，r min＝0.08 m即0.08 m≤r≤0.32 m.14.如图12所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：图12(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；(2)当角速度为3μg2r时，绳子对物体拉力的大小.答案(1) μgr(2)12μmg解析(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，达到绳子拉力为零时的最大转速，设转盘转动的角速度为ω0，则μmg ＝mω20r ，得ω0＝ μg r (2)当ω＝ 3μg 2r 时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F 和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F ＋μmg ＝mω2r即F ＋μmg ＝m ·3μg 2r ·r ，得F ＝12μmg .。