3.3 几何概型
重难点：掌握几何概型中概率的计算公式并能将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．
考纲要求：①了解几何概型的意义，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题． ②了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
经典例题：如图，60AOB ∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ， 试求：(1)AOC ∆为钝角三角形的概率；
(2)AOC ∆为锐角三角形的概率．
当堂练习：
1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（ ）
A ．0.62
B ．0.38
C ．0.02
D ．0.68
2．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2
与49 cm 2
之间的概率为（ ） A ．
310
B ．
15
C ．
25
D ．
45
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为（ ） A ．1
B ．
216
C
．
3
D ．
14
4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（ ） A ．
34
B ．
38
C ．
14
D ．
18
5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则 求两人会面的概率为（ ） A ．13
B ．
49
C ．
59
D ．
710
6如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ ） A ．2
π
B ．
1
π
C ．
23
D ．
13
7．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（）
A．1
8
B．
1
4
C．
1
2
D．
3
4
8．现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（）
A．
1
100 B．
1
20
C．
1
10
D．
1
5
9．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（）
A．1
4 B．
1
8 C．
1
10 D．
1
12
10．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（）
A．1
5 B．
2
5 C．
3
5 D．
2
7
11．若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L，则L与线段BC相交的概率为（）
A．1
2 B．
1
3 C．
1
6 D．
1
12
12．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
13．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率（ c ）
A．r
a B．2
r
a C．a
r
a-
D．
2
a r
a
-
14．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min．则乘客到达站台立即乘上车的概率为．15．随机向边长为2的正方形ABCD中投一点P,则点P与A的距离不小于1且与CPD
∠为锐角的概率是__________________．
16．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于5
6
的概率是．
17．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______．
18．飞镖随机地掷在下面的靶子上．
（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？
（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多
少？
19．一只海豚在水池中游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．
20．在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．
21．利用随机模拟方法计算曲线
1
y
x
=，1
x=，2
x=和0
y=所围成的图形的面积．
几何概型
经典例题：解：如图，由平面几何知识：
当
AD OB ⊥时，1OD =；
当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．
（１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形
记＂AOC ∆为钝角三角形＂为事件M ，则11
()0.45
OD EB P M OB ++===
即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．
（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角，
记＂AOC ∆为锐角三角＂为事件N ，则3
()0.65
DE P N OB ===
即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6．
当堂练习：
1.B;
2.B;
3.C;
4.A;
5.C;
6.A;
7.A;
8.B;
9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14.
111
; 15.
4arcsin
52
π; 16.
2572
; 17. 87.5%;
18.（1）都是
13；（2）23;34。
19.解：由已知可得，海豚的活动范围在26×16㎡的区域外， 所以海豚嘴尖离岸边不超过m 2的概率为2616
10.3083020
P
⨯=-
=⨯。
20.解：设构成三角形的事件为A ，长度为10的线段被分成三段的长度分别为x ，y ，
10－（x ＋y ），
则 010010010()10x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<-+<⎩，即010010010x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩
．
由一个三角形两边之和大于第三边，有
10()x y x y +>-+，即510x y <+<．
又由三角形两边之差小于第三边，有
5x < ，即05x <<，同理05y <<．
∴ 构造三角形的条件为05
05510x y x y <<⎧⎪
<<⎨⎪<+<⎩
．
∴ 满足条件的点P （x ，y ）组成的图形是如图所示中的阴影区域（不包括区域的边界）．
2125·522S ∆阴影＝＝，2
1·1052
OAB S ∆＝＝0．
∴ 1
()4
OMN S P A S ∆∆阴影＝
＝．
21. 解：（１）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数，1a RAND =，b RAND =；
（２）进行平移变换：11a
a =+；（其中,a
b 分别为随机点的横坐标和纵坐标） （３）数出落在阴影内的点数1N ，用几何概型公式计算阴影部分的面积． 例如，做1000次试验，即1000N =，模拟得到1689N =，
所以1
0.6891S N N
≈=，即0.689S ≈．。