弹性力学
第3章 平面问题的直角坐标解答
（第二讲）
• • • • 半逆解法应用举例 半逆解法介绍 矩形梁的纯弯曲 矩形梁纯弯曲位移分量的求解 矩形梁纯弯变形与材料力学解的对比
第3章 平面问题的直角坐标解答利用给定问题的某些已知信 息，发现问题可能存在解答范畴或者解答的形式，然 后从这些已知信息推算出某个或某类具体的解答函数， 再将其代入问题的限制条件，验证它是否满足这些限 制条件，或者通过这些限制条件求解其中的未知成分， 最终使这些限制条件得到满足，并得到问题的解。
半逆解法的基本特征： 半逆解法的基本特征： (a) 它主动应用到了问题的已知条件； (b) 它仍是一种试凑方法； (c) 通过它不一定能一次就得到问题的解，但 相关信息可以为求解问题提供新的线索。
第3章 平面问题的直角坐标解答 §3.2 半逆解法应用举例
§3.2 半逆解法应用举例 针对弹性力学平面问题求解的特征，可以更具体地 给出半逆解法的定义： 所谓半逆解法，它是根据所考虑问题的边界受力情 况，假设部分或全部应力分量，由此推出应力函数 的具体形式，再考察其能否满足相容方程，若满足 则自然就是正确解答了；否则，可另作假设或改变 其中某个应力分量表达式再重复上述步骤，直到得 出其正确解答。 与逆解法的联系 和区别？
考虑到一次以下的项对应力没有贡献，略去不计， 可以给出应力函数
Φ = x( A1 y 3 + A2 y 2 + A3 y ) + B1 y 3 + B2 y 2
利用应力分量与应力函数之间的关系可以得到各 应力分量为
∂ 2Φ σ x = 2 = x(6 A1 y + 2 A2 ) + 6 B1 y + 2 B2 , ∂y ∂ 2Φ ∂ 2Φ σ y = 2 = 0, τ xy = − = −3 A1 y 2 − 2 A2 y − A3 ∂x∂y ∂x
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
考虑到上、下边界条件(τxy) y = 0 = 0，(σy) y = 0 = 0； (τxy) y = h = 0， (σy) y = h = 0；可以得到
A3 = 0, − 3 A1h 2 − 2 A2 h − A3 = 0
考虑到左、右端边界条件(τxy) x = 0 = 0和(τxy) y = l = 0，可以得到
Fx = ∫ 0 − (σ x ) x =0 dy = − ∫ 0 6bydy = −3bh 2 = − P, Fx = ∫ 0 (σ x ) x =0 dy = ∫ 0 6bydy = 3bh 2 = P
h h h h
可以解出，b = P/(3h2) 。
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
h h
h
h
− (σ x ) x =0 ydy = − ∫ 0 (6 B1 y 2 + 2 B2 ) ydy = −2 B1h 3 − B2 h 2 = −aP, ∫0
(σ x ) x =l ydy = ∫ 0 (6 B1 y 2 + 2 B2 ) ydy = 2 B1h 3 + B2 h 2 = aP ∫0
∂ 2Φ ∂x
2
= 0, τ xy = τ yx
∂ 2Φ =− =0 ∂x∂y
现在来考察这些应力分量能否满足应力边界条件， 如果能满足系数d应该取什么值。
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首先考察上、下两个主要边界（占边界的绝大 部分）的条件。在上边和下边都没有面力，要求
(σ y ) y =± h / 2 = 0, (τ xy ) y =± h / 2 = 0
(v) 然而，在左、右端边界（次要边界）x = 0和x = l 上， σx还必须要满足合力矩边界条件，要求
M = ∫ 0 − (σ x ) x =0 ydy = − ∫ 0 6by 2 dy = −2bh 3 = −aP, M = ∫ 0 (σ x ) x =l ydy = ∫ 0 6by 2 dy = 2bh 3 = aP
第3章 平面问题的直角坐标解答 §3.2 半逆解法应用举例
半逆解法的具体步骤如下： 半逆解法的具体步骤如下
根据弹性体受力情况和边界条件，假定应力分量的 函数形式； 利用平衡方程的全解关系，推出应力函数Φ 的形式； 将应力函数Φ 代入相容方程，求出Φ 的具体表达式； 将Φ 代回应力的全解关系，求出对应的应力分量； 将应力代入边界条件，考察它们是否满足全部边界 条件。如果所有的条件均能满足，上述解答就是正确 的解答。否则，就要修改假设，重新进行求解。
下面就来求解这个问题。 注意：为了论述简明扼要起见，求解过程并不完全遵循
逆解法的步骤； 将应力边界条件用于求解应力函数（或应力分量） 中，而不是用于与逆解结果作对比。
具体求 解过程
【解】设所给问题的应力函数为 Φ = by3 易于验证，它满足相容方程∇4Φ = 0 ， 因此，可能成为问题的解答。
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
f1( 4) ( y ) = 0, f 2( 4) ( y ) = 0
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
求解这两个常微分方程，可得
f1 ( y ) = A1 y 3 + A2 y 2 + A3 y + A4 , f 2 ( y ) = B1 y 3 + B2 y 2 + B3 y + B4
即直接假设了一个应力函数； 下面我们通过对应力边界条件特征进行分析来寻 求应力函数。 具体求 解过程
【解】如果稍加注意，应该可以发现在 所给问题的上下表面上没有外力作用， 其中y方向的外力只与σy相关，鉴于此， 不妨设y方向的应力分量σy为0，即 σy = 0
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x
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如果把上面的问题作转换 ，给出的新问题为 如下图所示矩形断面长梁或矩形板，受到 如图所示外力作用，试给出其应力解答。 不难发现， 这时，我们完 全可以直接应 用上述逆解过 −6ah 程来获得问题 y 的解答。
O x h l 6ah
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− 3 A1 y 2 − 2 A2 y − A3 = 0
由此可见，应有 A1 = A2 = A3 = 0 应用左、右端边界x = 0和x = l上 σx还须满足的 合力与力矩条件，有
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
− (σ x ) x =0 dy = − ∫ 0 (6 B1 y + 2 B2 )dy = −3B1h 2 − 2 B2 h = − P, ∫0 (σ x ) x =0 dy = ∫ 0 (6 B1 y + 2 B2 )dy = 3B1h 2 + 2 B2 h = P ∫0
σx 图
σx
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应力分量的求解
为了方便起见，在求解过程中可以假设梁的宽度为1，即单位宽度。
根据多项式解答所学到的知识知道，满足相 容方程的应力函数
Φ = dy 3
能够解决梁的纯弯曲问题，而相应的应力分量为
σx =
∂ 2Φ ∂y
2
= 6dy, σ y =
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
∂ 2Φ ∂ 2Φ σ x = 2 = 6ay, σ y = 2 = 0, ∂y ∂x
τ xy
∂ 2Φ =− =0 ∂x∂y
由边界形状和应力分量可以反推边界上的面力。 在上边界y = 0上，σy = 0，τxy = 0； 在下边界y = h上，σy = 0，τxy = 0； 因此，在这两个边界面上，无任何面力作用， 即px = 0，py = 0。
于是，有
∂ 2Φ σy = 2 =0 ∂x
求解这个方程，可以得到
Φ ( x, y ) = xf1 ( y ) + f 2 ( y )
再将这个应力函数代入相容方程∇4Φ = 0 ，可得
xf1( 4) ( y ) + f 2( 4) ( y ) = 0
方程左端是一个关于变量x的函数，要使其对于任 意x都等于0，必有
第3章 平面问题的直角坐标解答 §3.2 半逆解法应用举例
应用举例一：矩形梁的纯弯曲 问题的描述：设有一矩形截面长梁（长度l远大于
深度h），它的宽度远小于深度和长度（近似的平 面应力情况），或者宽度远大于深度和长度（近似 的平面应变情况），在两端受相反的力偶而弯曲， 体积力可以不计。
Θ ⊕ M O y h/2 h/2 l y M h x 1
如果再作进一步的转换，给出的问题为 下图所示矩形断面长梁或矩形板，受到如 图所示外力的作用，试求解这个问题。 显然，我们 仍然可以假设 左右两个断面 上的外力满足 上面那个问题 的线性分布情 况，即利用圣 维南原理作静 力等效力系。
O P l y
于是，逆解法的结果依然适用
h
a P
x
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一个例题的回顾
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
【p48习题3－1】试考察应力函数Φ = ay3在图3－8所
示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不 计）。
O h l y x
【答】将应力函数Φ 代入相容方程，可见∇4Φ = 0 是满足的，Φ 有可能成为该问题的解。 将Φ 代入应力函数与应力分量之间的关系式， 得到应力分量
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
(iii) 在左、右端边界（次要边界）x = 0和x = l上， 应力边界条件py = −(τxy) x = 0 = 0和py = −(τxy) y = l = 0均 能得到满足，但关于px 的面力边界条件却无法满足， 只有应用圣维南原理给出放宽的边界条件，即积分 形式的应力（合力）边界条件。 (iv) 在左、右端边界（次要边界）上，关于σx 的积 分应力边界条件为