4.2.3 直线与圆的方程的应用学习目标 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质.2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题.3.会用“数形结合”的数学思想解决问题．知识点 坐标法解决几何问题的步骤 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．类型一 直线与圆的方程的应用例1 某圆拱桥的圆拱跨度为20 m ，拱高为4 m ．现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过？解 建立如图所示的坐标系．依题意，有A (－10,0)，B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0)． 设所求圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋10)2＋b 2＝r 2，(a －10)2＋b 2＝r 2，a 2＋(b －4)2＝r 2，解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)．把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3＜3.1，所以该船可以从桥下通过．反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．跟踪训练1如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米．答案251解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251(米)．类型二坐标法证明几何问题例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.证明以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示，设|AB|＝2r，D(a,0)，则|CD |＝r 2－a 2， ∴C (a ，r 2－a 2)， ∴圆O ：x 2＋y 2＝r 2，圆C ：(x －a )2＋(y －r 2－a 2)2＝r 2－a 2. 两方程作差，得直线EF 的方程为 2ax ＋2r 2－a 2y ＝r 2＋a 2. 令x ＝a ，得y ＝12r 2－a 2，∴H (a ，12r 2－a 2)，即H 为CD 中点，∴EF 平分CD .反思与感悟 (1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题；②通过代数运算，解决代数问题；③把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论． (2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则： ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴； ②常选特殊点作为直角坐标系的原点； ③尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．跟踪训练2 如图，直角△ABC 的斜边长为定值2m ，以斜边的中点O 为圆心作半径为n 的圆，直线BC 交圆于P ，Q 两点，求证：|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2为定值．证明 如图，以O 为坐标原点，以直线BC 为x 轴，建立直角坐标系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．则|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．类型三直线与圆位置关系的应用例3为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．解以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.反思与感悟针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题．跟踪训练3一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形区域(如图)．已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3)，所以轮船航线所在的直线方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0，台风区域边界所在圆的方程为x2＋y2＝4.由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离为d＝|－6|12＋22＝65>2，所以直线x＋2y－6＝0与圆x2＋y2＝4相离，因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响．1．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m答案 B解析如图，圆的半径|OA|＝3.6 m，卡车宽1.6 m，所以|AB|＝0.8 m，所以弦心距|OB|＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．2．方程x2＋y2＝1(－1≤x≤0)所表示的图形是()A．以原点为圆心，1为半径的上半圆B．以原点为圆心，1为半径的左半圆C．以原点为圆心，1为半径的下半圆D．以原点为圆心，1为半径的右半圆答案 B3．设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x －y ＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________． 答案722－2 解析 由圆心(2，－3)到直线x －y ＋2＝0距离为d ＝|2＋3＋2|2＝722，则从村庄外围到小路的最短距离为722－2.4．已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－524]∪[524，＋∞)解析 由题意知，AB 所在直线与圆C 相切或相离时，视线不被挡住， 直线AB 的方程为y ＝a5(x ＋2)，即ax －5y ＋2a ＝0，所以d ＝|3a |a 2＋52≥1，即a ≥524或a ≤－524.5．某操场400 m 跑道的直道长为86.96 m ，弯道是两个半圆弧，半径为36 m ，以操场中心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，求弯道所在的圆的方程．解 易知题干图中上半个弯道所在圆的圆心坐标为C (0,43.48)，其所在圆的半径为36，故上半个弯道所在圆的方程是x 2＋(y －43.48)2＝362.同理下半个弯道所在圆的方程是x 2＋(y ＋43.48)2＝362.1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法．事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化、化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题．课时作业一、选择题1．方程1－x 2＝x ＋k 有唯一解，则实数k 的取值范围是( ) A ．k ＝－ 2 B ．k ∈(－2，2) C ．k ∈[－1,1) D ．k ＝2或－1≤k <1答案 D解析 由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0)只有一个交点，结合图形(图略)易得－1≤k <1或k ＝ 2.2．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的面积是( )A.π4B.3π4C.3π2 D ．π 答案 D解析 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.3．已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，一束光线从点A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( )A ．62－2B ．8C ．4 6D ．10 答案 B解析 点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5,7)的距离为(5＋1)2＋(7＋1)2＝10.∴所求最短路程为10－2＝8.4．曲线y ＝1＋1－x 2与直线y ＝k (x ＋2)有交点时，实数k 的取值范围是( ) A ．(512，43]B ．(34，43)C ．[13，43]D ．[0，43]答案 C解析 由题意知，曲线y ＝1＋1－x 2是以(0,1)为圆心，以1为半径的上半圆，直线过定点(－2,0)，如图所示，点A (1,1)，P (－2,0)，则k AP ＝13，直线与圆相切于点B 时，切线PB 的斜率是43，所以当直线与曲线有交点时， 实数k 的取值范围是[13，43]，故选C.5．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22答案 A解析 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1，所以△ABC 的最小值为 S △ABC ＝12×|AB |×⎝⎛⎭⎫322－1＝12×22×⎝⎛⎭⎫322－1 ＝3－ 2.6．如图所示，已知直线l 的解析式是y ＝43x －4，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，一个半径为32的圆C ，圆心C 从点(0，32)开始以每秒12个单位的速度沿着y 轴向下运动，当圆C与直线l 相切时，该圆运动的时间为( )A ．6 sB ．6 s 或16 sC ．16 sD ．8 s 或16 s答案 B解析当圆与直线l 相切时， 圆心坐标为(0，m )， 则圆心到直线l 的距离为|m ＋4|1＋(43)2＝32， 得m ＝－32或m ＝－132，∴该圆运动的时间为32－(－32)12＝6(s)或32－(－132)12＝16(s)．二、填空题7．已知集合A ＝{(x ，y )|x －y ＋m ≥0}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}．若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2)解析 如图，A ＝{(x ，y )|x －y ＋m ≥0}表示直线x －y ＋m ＝0及其右下方区域，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}表示圆x 2＋y 2＝1及其内部．要使A ∩B ＝∅，则直线x －y ＋m ＝0在圆x 2＋y 2＝1的下方，即|0－0＋m |2>1，故m <－ 2.8．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________． 答案 4解析 如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4.9．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________． 答案254解析 ∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，∴过点A 与圆O 相切的切线方程为x ＋2y ＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.10．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________________________． 答案 x ＋y －2＝0解析 由题意知，点P (1,1)在圆x 2＋y 2＝4内，则过点P 截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大， 则所求直线与圆心O 和P (1,1)的连线垂直， ∴该直线斜率为－1，由点斜式方程，得y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.11．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区的时间为________h. 答案 1解析 如图，以A 地为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则台风经过以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内，即危险区为MN ，可求得|MN |＝20， ∴时间为1 h.三、解答题12．设半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？解 由题意以村中心为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立直角坐标系，如图，设A 、B 两人的速度分别为3v km /h ，v km/h ，设A 出发a h ，在P 处改变方向，又经过b h 到达相遇点Q ，则P (3a v ,0)，Q (0，(a ＋b )v )，则|PQ |＝3b v ，|OP |＝3a v ，|OQ |＝(a ＋b )v .在Rt △OPQ 中，|PQ |2＝|OP |2＋|OQ |2，得5a ＝4b .又∵k PQ ＝0－v (a ＋b )3a v －0， ∴k PQ ＝－34. 设直线PQ 的方程为y ＝－34x ＋m ， 由PQ 与圆x 2＋y 2＝9相切， 得|－4m |42＋32＝3，解得m ＝154， 故A 、B 两人相遇在正北方离村落中心154km 处． 四、探究与拓展13．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．[15°，45°]B ．[15°，75°]C ．[30°，60°]D ．[0°，90°]答案 B解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18， ∴圆心为M (2,2)，半径r ＝18＝3 2.∵圆上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，∴圆心M 到直线l 的距离d 应小于等于2，即d ＝|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，整理得(a b )2＋4×a b＋1≤0， 解得－2－3≤a b≤－2＋3， ∴2－3≤－a b≤2＋3， 即直线l 的斜率k ∈[2－3，2＋3]，即k ＝tan α∈[2－3，2＋3]，利用排除法知直线l 的倾斜角α的取值范围是[15°，75°]，故选B.14．有一种商品，A 、B 两地均有销售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍．已知A 、B 相距10 km ，问居民应如何选择在A 地或B 地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)解 以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系．|AB |＝10，所以A (－5,0)，B (5,0)，设P (x ，y )是区域分界线上的任一点，并设从B 地运往P 地的单位距离运费为a ，即从B 地运往P 地的运费为|PB |·a ，则从A 地运往P 地的运费为|P A |·3a ，当运费相等时，就是|PB |·a ＝3a ·|P A |，即3(x ＋5)2＋y 2＝(x －5)2＋y 2，整理得(x ＋254)2＋y 2＝(154)2. ①所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A 地或B 地购买，在圆内的居民应选择在A 地购买，在圆外的居民应选择在B 地购买．。