导数的应用一（一个极值点）1. （2011西城一模理） 18. （本小题满分14分）已知函数2(1)()a x f x x -=，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值； （Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e]上的最大值. （其中e 为自然对数的底数） 答案：18. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）3(2)()a x f x x-'=，（0x ≠）， ……………3分在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………4分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则002000030(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩……………7分（1个方程1分）解得01x =，1a =. ……………8分（Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-， …………………9分解()0g x '=，得1e a x -=，所以，在区间1(0,e)a -上，()g x 为递减函数，在区间1(e,)a -+∞上，()g x 为递增函数. (10)分当1e 1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………11分当1e e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………12分当11<e <e a -，即12a <<时，()g x 的最大值为(e)g 和(1)g 中较大者；(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得ee 1a <-， 所以，e1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， …………………13分e2e 1a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. …………………14分综上所述，当e 0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =. 2. （2011东城一模理） （18）（本小题共13分）已知函数2()ln ,()xx f x x x g x e e==-． （Ⅰ）求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立 答案： （18）（共13分）（Ⅰ）解：由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+．当1(0,),()0,()x f x f x e'∈<单调递减， 当1(,),()0,()x f x f x e'∈+∞>单调递增. 所以函数()f x 在区间[1,3]上单调递增， 又(1)0f =，所以函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为0．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞在1x e=时取得最小值， 又11()f e e=-，可知1()f m e ≥-． 由2()x x g x e e =-，可得1'()x xg x e-=．所以当(0,1),'()0,()x g x g x ∈>单调递增， 当(1,),'()0,()x g x g x ∈+∞<单调递减. 所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值，又1(1)g e=-， 可知1()g n e≤-，所以对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．分3. （2011年朝阳一模理） 18．（本小题满分13分）已知函数2()ln 20)f x a x a x=+-> (. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围. 答案：18．（本小题满分13分） 解: (I) 直线2y x =+的斜率为1.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为22()a f x x x '=-+，所以22(1)111af '=-+=-，所以1a =. 所以2()ln 2f x x x =+-. 22()x f x x-'=.由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<.所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2). ……………………4分 (II) 2222()a ax f x x x x -'=-+=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a <<.所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2(0, )a 上单调递减.所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2()y f a=.因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立， 所以2()2(1)f a a>-即可.则22ln 22(1)2a a a a+->-. 由2ln a a a >解得20a e <<. 所以a 的取值范围是2(0, )e. ………………………………8分(III)依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222()x x g x x +-'=. 由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0,(1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩≥≥解得211b e e<+-≤.所以b 的取值范围是2(1, 1]e e+-. ………………………………………13分4.（2011昌平二模理19）.(本小题满分14分) 已知函数32ln )(+-=ax x a x f （0≠a ）. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ）函数)(x f y =的图像在2=x 处的切线的斜率为,23若函数])([31)('23m x f x x x g ++=，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围。

解：（I ）)0()21()('>-=x xx a x f ……2分 当时，0>a 0)('>x f 即210<<x 210)(><x x f 即‘∴f(x)的单调递增区间为（0，21）,单调递减区间为（21,)∞+ ………4分当时，0<a 210)(>>x x f 即‘，0)('<x f 即210<<xf(x)的单调递增区间为（21,)∞+,单调递减区间为（0，21） ……6分（II ）2323)2('=-=a f 得 1-=a ……8分x x x f 2ln )(+-=+3 23)21(31)(x m xx x g ++-+= ……9分1)24()(2'-++=∴x m x x g ………10分 1)0(31)('-=g x g ）上不是单调函数，且，在区间（ ……11分⎪⎩⎪⎨⎧><∴0)3(0)1(''g g ……12分 ⎩⎨⎧>+<+∴0620024m m 即：2310-<<-m5.丰台．（10一模18）（13分）已知函数.ln )(xax x f +=（I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值.答案：：解：函数xax x f +=ln )(的定义域为),0(+∞ …………1分 221)('xa x x a x x f -=-=…………3分（1）.0)(',0>∴<x f a故函数在其定义域),0(+∞上是单调递增的. …………5分（II ）在[1，e]上，发如下情况讨论：①当a<1时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增，其最小值为,1)1(<=a f 这与函数在[1，e]上的最小值是23相矛盾； …………6分②当a=1时，函数(]e x f ,1)(在单调递增， 其最小值为,1)1(=f 同样与最小值是23相矛盾； …………7分③当e a <<1时，函数[)a x f ,1)(在上有0)('<x f ，单调递减， 在(]e a ,上有,0)('>x f 单调递增，所以， 函数)(x f 满足最小值为1ln )(+=a a f 由,,231ln e a a ==+得 …………9分④当a=e 时，函数[),0)(',1)(<x f e x f 上有在单调递减， 其最小值为,2)(=e f 还与最小值是23相矛盾； …………10分⑤当a>e 时，显然函数],1[)(e x f 在上单调递减， 其最小值为,21)(>+=eae f 仍与最小值是23相矛盾； …………12分 综上所述，a 的值为.e…………13分6. 海淀(10一模18)．（本小题满分13分）（10一模）已知函数()ln ,f x x a x =+其中a 为常数，且1a ≤-.（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e,e ]（e=2.718 28…）上的值域； （Ⅱ）若()e 1f x ≤-对任意2[e,e ]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.答案：解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln ,f x x x =-得1()1,f x x '=-………………2分令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上为增函数， 据此，函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，………………4分而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--………………6分（Ⅱ）由()1,a f x x '=+令()0f x '=，得10,ax+=即,x a =-当(0,)x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a -上单调递减；当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增； ……………7分 若1e a ≤-≤，即e 1a -≤≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f ≤-即可， 所以有2e 2e 1a +≤-，即2e e 12a -+-≤而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解.………………8分若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数， 要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f ≤-⎧⎨≤-⎩，即21e e 12a a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩， 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤.………………10分若2e a -≥，即2e a ≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f ≤-即可， 所以有e e 1a +≤-，即1a ≤-，又因为2e a ≤-，所以2e a ≤-.……………12分 综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1(,]2-+--∞.……………13分7. 朝阳(10一模18)（本小题满分13分）已知函数22()ln ax f x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())Px f x 12()≠x x ，求证：120x x +=． 答案：解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(, 0)(0, )-∞+∞ ．222()()a e ax f x x e ex-'=-=. 当0a =时，由2()0f x x'=>，解得0x >；当0a >时，由2()()0e ax f x ex -'=>，解得0ex a <<；当0a <时，由2()()0e ax f x ex -'=>，解得0x >，或ex a<．所以当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞； 当0a >时，函数()f x 的递增区间是(0, )ea；当0a <时，函数()f x 的递增区间是(, )e a-∞，(0, )+∞． …………8分 （Ⅱ）因为222()()e x f x x e ex-'=-=， 所以以111(,())P x f x 为切点的切线的斜率为112()e x ex -； 以222(,())P xf x 为切点的切线的斜率为222()e x ex -． 又因为切线过点(0, )P t ， 所以21111122()ln (0)x e x t x x e ex --+=-； 22222222()ln (0)x e x t x x e ex --+=-. 解得，221t x e += ，222t x e+=. 则2212x x =.由已知12x x ¹所以，120x x +=． ……………………………13分。