五、应用题（本题20分）1．设生产某种产品q 个单位时成本函数为：q q q C 625.0100)(2++=（万元）, 求：（1）当10=q 时总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q 为多少时，平均成本最小？解：（1）总成本q q q C 625.0100)(2++=，平均成本625.0100)(++=q qq C ， 边际成本65.0)(+='q q C ．因此，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C （万元）， 5.1861025.010100)10(=+⨯+=C （万元） 116105.0)10(=+⨯='C ．（万元） （2）令 025.0100)(2=+-='q q C ，得20=q （20-=q 舍去）． 由于20=q 是其在定义域内唯一驻点，且该问题的确存在最小值，因此当20=q 时，平均成本最小.2．.某厂生产某种产品q 件时总成本函数为201.0420)(q q q C ++=（元），单位销售价格为q p 01.014-=（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少． 解：成本为：201.0420)(q q q C ++=收益为：201.014)(q q qp q R -==利润为：2002.010)()()(2--=-=q q q C q R q Lq q L 04.010)(-='，令004.010)(=-='q q L 得，250=q 是惟一驻点，利润存在最大值，因此当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为12302025002.025010)250(2=-⨯-⨯=L （元）。

3．投产某产品固定成本为36(万元)，且边际成本为402)(+='q q C (万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解：成本函数为：36)402()(0++=⎰qdx x q C当产量由4百台增至6百台时，总成本增量为=+=+=∆⎰6464264|40|)402(x x dx x C 100（万元）364036)402()(20++=++=⎰q q dx x q C qqq q C 3640)(++=∴ 2361)(q q C -='，令0361)(2=-='qq C 得，6,6-==q q （负值舍去）。

6=q 是惟一驻点，平均成本有最小值，因此当6=x （百台）时可使平均成本达到最低.3、投产某产品固定成本为36（万元），且边际成本为602)(+='q q C （万元/百台）。

试求产量由4百台增至6百台时总成本增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低。

解：成本函数为：36)602()(0++=⎰qdx x q C当产量由4百台增至6百台时，总成本增量为=+=+=∆⎰6464264|60|)602(x x dx x C 140（万元）366036)602()(20++=++=⎰q q dx x q C qqq q C 3660)(++=∴2361)(q q C -='，令0361)(2=-='qq C 得，6,6-==q q （负值舍去）。

6=q 是惟一驻点，平均成本有最小值，因此当6=x （百台）时可使平均成本达到最低。

4．已知某产品边际成本)(q C '=2（元/件），固定成本为0，边际收益q q R 02.012)(-='，求：①产量为多少时利润最大？②在最大利润产量基本上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 解：边际利润为：q q C q R q L 02.010)()()(-='-'='令0)(='q L 得，500=q 。

500=q 是惟一驻点，最大利润存在，因此 ①当产量为500件时，利润最大。

② =-=-=∆⎰5505002550500550500|01.0|10)02.010(x x dx x L - 25（元）即利润将减少25元。

5．已知某产品边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.解：由于总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18，即C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为qq q q C q A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='q q A ， 解得q = 3 (百台) 该问题的确存在使平均成本最低产量. 因此当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)6、已知生产某产品边际成本为q q C +='4)( (万元/百台)，收入函数为22110)(q q q R -=（万元），求使利润达到最大时产量，如果在最大利润产量基本上再增长生产200台，利润将会发生如何变化？解：边际利润为：q q q q C q R q L 26410)()()(-=---='-'='令0)(='q L 得，3=q 3=q 是惟一驻点，而最大利润存在，因此当产量为3百台时，利润最大。

当产量由3百台增长到5百台时，利润变化量为5325353||6)26(x x dx x L -=-=∆⎰)35()35(622---⨯=41612-=-=（万元） 即利润将减少4万元。

7..设生产某产品总成本函数为 x x C +=5)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时边际收入为x x R 211)(-='（万元/百吨），求：⑴利润最大时产量；⑵在利润最大时产量基本上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ .解：⑴由于边际成本为 1)(='x C ，边际利润x x C x R x L 210)()()(-='-'='令0)(='x L ，得5=x 可以验证5=x 为利润函数)(x L 最大值点. 因而，当产量为5百吨时利润最大.⑵当产量由5百吨增长至6百吨时，利润变化量为 65265)10(d )210(xx x x L -=-=∆⎰1-=（万元）即利润将减少1万元.8..设生产某种产品x 个单位时成本函数为：x x x C 6100)(2++=（万元）, 求：⑴当10=x 时总成本和平均成本；⑵当产量x 为多少时，平均成本最小？.解：⑴由于总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 6100)(2++=6100)(++=x xx C ， 因此，260106101100)10(2=⨯+⨯+=C 26610110100)10(=+⨯+=C ， ⑵1100)(2+-='xx C令 0)(='x C ，得10=x （10-=x 舍去），可以验证10=x 是)(x C 最小值点，因此当10=x 时，平均成本最小．线性代数计算题1、 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=121511311A ，求1)(-+A I 。

解：由于 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+021501310121511311100010001A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+110001010520310501100010001021501310][I A I⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→1123355610100010001112001010100310501因此，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 。

2、设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------843722310，I 是3阶单位矩阵，求1)(--A I 。

解：由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-943732311A I ，(I -A I ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡103012001010110311100010001943732311 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→111103231100010001111012013100110201因此1)(--A I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111103231。

3．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1．．解：由于AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1412 (AB I ) =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1210011210140112 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→121021210112101102 因此 (AB )-1= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡1221214．、设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012411210A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101B ，求B A 1-解：求逆矩阵过程见复习指引P774，此处从略。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-211231241121A ；因此，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-131101211231241121B A 。

5．．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡13251001132510011301102110015321 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-13251A ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-1101132532211BA X6．.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=112,322121011B A ，求B A 1- .解：运用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A由矩阵乘法得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-7641121461351341B A 。

1．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=--1261423623352321321321x x x x x x x x x 普通解．．解：由于增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=18181809990362112614236213352A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101401因此普通解为 ⎩⎨⎧+=+=1143231x x x x （其中3x 是自由未知量）2．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 普通解．解：由于系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 因此普通解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）3、当λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-083035203321321321x x x x x x x x x λ有非0解？并求普通解。