• 从对当关系看，两个定义可以互换。
（3）直观成立的推理
• 直观上成立的公式（5，6，7三个蕴涵 式）：
– D公式：□p→◇p – T公式：□p→p （必然性公理） – T◇公式：p→◇p
• 直观上不成立的公式（5，6，7的逆）
:
–Dc: ◇p→□p –Tc: p→□p –Tc◇: ◇p→p
• 直观上无法确定的公式：
◇SIP
◇SEP ◇SOP
• 反对：两个必然全称命题之间的关系，有 一对；
• 下反对：两个可能特称命题之间关系，有 一对；
• 矛盾：质量模态三者都相反的命题间关系， 共有四对；
• 从属：质相同但量与模态不同的命题之间 的关系，共有10对。
– 必然全称蕴涵可能特称； – 模态相同时，全称蕴涵特称； – 量相同时，必然蕴涵可能； – 必然特称不能蕴涵可能全称。
– 例： 事物必然是运动的。 地球以外的天体可能存在生物。 – 符号规定： 必然用□表示；可能用◇表示；而p表示基础命题：即事
物是运动的；地球以外的天体存在生物。 以上两个命题的逻辑形式为：
必然p 或写成：□p 可能p 或写成：◇p
• 模态命题的类型：
– 必然肯定命题：必然p 或□p – 必然否定命题：必然非p或□p – 可能肯定命题：可能p 或◇p – 可能否定命题：可能非p或◇p 注意：这里的否定词，是对基础命题的否定，而不是对
– 不可能“汽车的速度超过光速”。 – 可能“地球上来过外星人”。 – 必然“X=5或x ≠ 5是必然的”。
• 对必然与偶然的一般理解：
– 必然真理就是一种不能不如此的真 理，一个偶然真理就是一种可以不 如此的真理；
或者
– 一个必然真理的反面是不可能的或 矛盾的，一个偶然真理的反面是可 能的或不矛盾的。
广义模态除了包括真性模态，还包 括关于应该、允许、禁止等的道义 模态，关于知道、相信等的认知模 态等，以及过去、过去一直、将来、 将来永远等时间模态，相应地有道 义逻辑和认知逻辑和时态逻辑（广 义模态逻辑）。
3、模态命题及其特征
• 模态命题就是包含模态内容的命题。 • 从语言形式上看，模态命题都含有模态词。 • 从内容上看，模态命题反映客观事物和人
第七章
模态逻辑
本章主要内容
• 模态逻辑概述 • 模态命题及其推理 • 道义命题及其推理
第一节 模态逻辑概述
对蕴涵式的困惑
• 日常语言中“蕴涵”有很多意义，经典逻 辑中采用了一种用法，把“A蕴涵B”解释 为“并非A真B假”。例：
1.如果所有人都有死并且苏格拉底是人，那么苏 格拉底有死。
2.如果莱士里是单身汉，那么莱士里是未婚的。 3.如果把这张蓝色石磊纸放入酸液中，那么它会
逻辑考试可能不难。（真）
明天必然会下雨。（真假不定） 明天可能会下雨。 明天必然不会下雨。（假）
明天可能不会下雨。（真假不定）
他明天必然过来。（假） 他明天可能不过来。 他明天必然不过来。（真假不定）
他明天可能过来。（真假不定）
• 关于模态命题对当关系合理性的说 明：
– 直言命题对当关系可以通过分析主 谓项外延间关系的分析，来判定其 合理性。
• 克里普克的可能世界语义学与莱布尼 茨的有三个方面的不同：
– 一个命题的真假是相对一个可能世界而 言的，不能抽象谈论一个命题的直假；
– 可能世界之间发生一定的关系，即可通 达关系，记作R。
– 因此，必然性与可能性也是相对一个可 能世界而言的。
• 以下给出可能世界语义学的符号表示：
– 模型：<W, R, V>。其中W是全部可能世界的 集合，W的元素是一个一个的可能世界wi, wj, …，即
¬◇¬p→p（同6）
p→¬□¬p（同7）
• 根据反对关系直接的推理：2个
13.□p→¬¬p 14.□¬p→¬□p
• 根据下反对关系的直接推理：2个
15.¬◇p→◇¬p 16.¬◇¬p→◇p
• 其中1、3、5、6、7是基本的，其 他的可以从这几个中变换出来。
• （2）必然、可能、偶然的相互定 义
• 可满足：一个模态公式a在某个模型中的某 个可能世界wi中真，称a在该模型中可满足。
• 有效：如果a在某个模型的所有可能世界中 为真，则称a在该模型中有效。
• 如果a在某个模型类中的所有模型下有效， 则称a在该模型类中有效。
• 如果a在所有模型组成的模型类下有效， 即在所有模型下有效，则称a为普遍有 效或逻辑有效。经典命题逻辑中所有 重言式都是普遍有效的。
– 但是，模态命题对当关系的合理性， 没有相应的简单方法得以证明。
4. 简单模态命题推理
• （1）对当关系推理 • 根据六边形对当关系图，可以得到一
系列直观上成立的模态命题推理形式。
• 根据矛盾关系的直接推理：8个
1. □p↔¬◇¬p
2. □¬p↔¬◇p
3. ◇p↔¬□¬p
4. ◇¬p↔¬□p
– 上述的公式是等值式，即每个公 式可以构成两个推理。两个实然 命题之间的矛盾关系，不构成模 态推理。
• 非有效但可满足：
– p→□p（所有现实的，都是合理的[黑格尔语]） – ◇p→□p（可能的，就是必然的[默菲法则]） – ◇p→p（可能的，就是现实的） – □p→□(p∧q) – (◇p∨◇q)→◇(p∧q)
–[7] ◇(p∨q)↔(◇p∨◇q) –[8] □p∨□q→□(p∨q) –[9] ◇(p∧q)→(◇p∧◇q) –[10] (□(p∨q)∧□¬p)→□q –[11] □p→□□p –[12] ◇p→□◇p –[13] p→□◇p
6. 直言模态对当关系推理
□SAP
□SEP
□SIP
□SOP
◇SAP
• 模态逻辑旨在描述那些本质上包含必然性 或可能性概念的论证。
• 因为涉及到必然性与可能性这样一些哲学 概念，模态逻辑又称为哲学逻辑，是哲学 逻辑中最先发展起来的一个重要分支。
• 例：
– 汽车的速度不可能超过光速。 – 地球上可能来过外星人。 – X=5或x ≠ 5是必然的。
• 以上三个命题也可以表述为：
◇p 下反对关系 ◇p
包含实然命题的对当关系：
必然P
从
实然P
属
关
系
可能P
反对关系 予 盾
关 系 下反对关系
必然P
从
属
实然 P
关
系
可能 P
物质必然是不运动的。(假) 物质必然是运动的。 物质可能是运动的。(真)
物质可能是不运动的。(假)
逻辑考试必然难。（假） 逻辑考试必然不难。 逻辑考试可能难。（假）
模态词的否定。
• 例：
– 物质必然是运动发展的。 – 逻辑考试必然不难。 – 明天可能会下雨。 – 他明天可能不过来。
2. 复合模态命题和叠置模态命题
• (1)复合模态命题
– 复合模态命题是用命题联结词联结模态 命题构成的命题。
• 例：
– 科学不可能是一个人的事业。（¬◇p） – 如果生物必然有死，那么生物不可能长
• 如果a在任意模型的任一可能世界上都 假，则称a为不可满足。不可满足的公 式都是逻辑矛盾，并且也只有逻辑矛 盾才是不可满足的。
• 普遍有效：
– K公式：□(p→q)→(□p→□q)
• 有效：
–D公式： □p→◇p –T公式： □p→p （必然性公理） – T◇公式：p→◇p –4 □p→□□p –B p→□◇p –E ◇p→□◇p
7. 真值条件--可能世界理论
• （1）可能世界 • 凡是不违反逻辑，能够为人们所想
象的情况或场合，都是“可能世 界”。现实世界是可能世界中的一 种。
• （2）莱布尼茨的可能世界理论
• 一个命题必然真就是在所有可能 世界中真。
• 一个命题可能真就是在至少一个 可能世界中真。
（3）克里普克的可能世界语义学
2、模态的分类
• （1）客观模态与主观模态
– 客观模态是指客观事物本身存在的 必然性或可能性。
• 例如：汽车的速度不可能超过光速。
– 主观模态是指认识中的确定性或不 确定性。
• 例如：地球上可能来过外星人。
• （2）逻辑模态和非逻辑模态
–逻辑模态是指逻辑上的必然性和 可能性。
• 例如：太阳可能每天从西方升起。 • 否定逻辑必然性必引发逻辑矛盾。
若wRw’，则V(a, w’)=1。
• ◇ a命题在w可能世界中真的定义： • V(◇a, w)=1, 当且仅当a存在w’, 使
得wRw’且V(a, w’)=1。
图示
…… ……
·a=1
·
·a=1
·
W □a=1
W ◇a=1
·w’ a=1
·a=1
·
（4）模态公式的有效性
• 模态公式有效性可分为三种：有效、非有 效但可满足、不可满足的
们认识的必然性、可能性、确定性、不确 定性等等。
• 模态词的非真值函项性或内涵性：命题的 真值不能由非模态命题的真值来确定。它 的语义解释比非模态命题要复杂得多。
第二节 模态命题及其推理
1. 基本模态命题及其符号化
• 简单模态命题 – 定义：凡包含着“必然”、“可能”等词的命 题，就叫真性模态命题。由模态词和基础命题 组成。
W={ wi, wj, …}。 – R是定义在可能世界W上的二元关系：两个世
界wi, wj具有可通达关系，表示为wiRwj 或R （wi, wj ），读作“wi可通达 wj”。 – V是一个赋值，V（a, wi）=1（0）表示在赋值 V下，a在可能世界wi,中真（假）。
• □ a命题在w可能世界中真的定义： • V(□a, w)=1，当且仅当任给w’，
–由对当关系推理（公式1，3），可 以构成必然与可能之间的相互定义。
–根 据◇p⇔□p ，就可以得到◇p