山西省忻州市第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知 为非零实数， ，若 ，则下列不等式一定成立的是（）
A． B． C． D．
【详解】
因为 ，所以 .
故选D
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.
4．B
【分析】
根据向量加法法则以及向量数量积坐标表示计算即得结果.
【详解】
因为 ， ，
所以
故选：B
【点睛】
本题考查向量加法、向量数量积坐标运算，考查基本求解能力，属基础题.
5．B
【分析】
由题意可得 进而可得 ，而 ，代入即可得答案．
A． B． C． D．
8．已知 的面积为6，若在 内部随机取一个点 ，则使 的面积大于2的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知等比数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 =（ ）.
A．90B．125C．155D．180
10．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则 （）
A． B． C．1D．0
【详解】
，又 故 ，得 ，
则 =
故选:B
【点睛】
本题考查等差数列的性质和求和公式，熟记公式准确计算是关键，属基础题．
6．D
【分析】
先与1比较，再与 比较，即可判断大小.
【详解】
因此
故选：D
【点睛】
本题考查比较大小、指数函数单调性、对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.
7．B
【分析】
根据输入的条件执行循环，并且每一次都要判断结论是或否，直至退出循环.
3．若 角的终边上有一点 ，则 （ ）
A．3B． C．1D．
4．已知 ， ，则 （）
A．13B．14C． D．30
5．记等差数列{ }的前n项和为 ，若 ， ，则 =
A．34B．35C．68D．70
6．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）
【详解】
由题意得 ，因为 为钝角三角形，所以 或 ，
即 ，或 ，从而 或 ．
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.
12．D
【分析】
设 分别为 的中点，连接 ，则 ， ，从而得到 ，坐标化构建m，n的方程组，解之即可.
11．已知函数 ，点A，B分别为 图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若 为钝角三角形，则a的取值范围为（）
A． B． C． D．
12．在 中， ， ， ，若 为 的外心（即三角形外接圆的圆心），且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知圆心角不超过 、半径为3的扇形 的弦长 ，则该扇形的弧长是_________.
三、解答题
17． 的内角 的对边分别为 ， ， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
18．某校要从该校环境保护兴趣协会的20名成员中，选取6人组队参加市电视台组织的环保知识竞赛.
（1）若采用抽签法选取参赛队伍成员，请写出步骤；
（2）若选出的人员中有2名女生4名男生，在这6名学生中任选两人担任正副队长，求所选两人恰好有1名女生的概率.
10．A
【分析】
先根据正弦定理化角求得A，再根据正弦定理以及两角和正弦公式求 .
【详解】
故选：A
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形、两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．B
【分析】
首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积 或 ，找出 所满足的条件，最后求得结果.
【详解】
， ， ， ； ， ．
【点睛】
本题考查程序框图，执行循环，属于基础题.
8．C
【分析】
根据几何概型的公式转化为对应区域面积比值进行计算即可．
【详解】
如图， ， ， ，当点 在线段DE上时 的面积等于2，若使 的面积大于2，则点P应在 内部，
易知 ，
则使 的面积大于2的概率为 .
故选C.
【点睛】
【详解】
设 分别为 的中点，连接 ，则 ， ，又 ，
19．已知函数 的图象经过点 .
（1）求 的值以及 的单调递减区间；
（2）当 时，求使 成立的 的取值集合.
20．已知二次函数 满足 ，且 ， .
（1）求 的解析式；
（2）是否存在实数 ，使得在 上 的图象恒在曲线 的上方？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.
21．设 .
（1）当 时，求区域面积是解决本题的关键．
9．C
【分析】
由等比数列的性质， 成等比数列，即可求得 ，再得出答案.
【详解】
因为等比数列 的前 项和为 ，根据性质所以 成等比数列，因为 ，所以 ，故
故选C
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，若等比数列 的前 项和为 ，则 也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题.
2．D
【分析】
根据不等式的性质逐项判断即可得出．
【详解】
对A，当 时， 不成立，所以A错误；
对B，当 时， 不成立，所以B错误；
对C，当 时， 不成立，所以C错误；
对D，因为 ，所以 ，即 ，正确.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查不等式的性质应用，属于基础题．
3．D
【分析】
利用三角函数定义可得a的方程，解之即可.
14．若 ，则 的最小值为________.
15．已知甲船位于小岛 的南偏西 的 处，乙船位于小岛 处， 千米，甲船沿 的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_____小时．
16．若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为______．
（2）已知 ，且当 时，求 的值.
22．已知数列 满足 ，且 .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
先解不等式得集合B，再根据补集以及交集定义求结果.
【详解】
因此
故选：D
【点睛】
本题考查解一元二次不等式、补集以及交集，考查基本分析求解能力，属基础题.