6、分式的概念、分式的基本性质
【知识精读】
分式的概念要注意以下几点：
（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；
（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；
（3）分式有意义的条件是分母不能为0。
分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。
在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。
下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。
【分类解析】
例1. 已知a b ，为有理数，要使分式
a b 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00，
B. a b ≤<00，
C. a b ≥>00，
D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，
分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由a b
≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。
例2. 当x 为何值时，分式||x x -+55
的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。
解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。
∴当x =5时，分式
55||+-x x 的值为零。
例3. 已知
113a b -=，求2322a ab b a ab b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95
D. 4
分析：
113113a b b a
-=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得 23222231122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=⨯----=()，故选择C 。
例4. 已知x y -=20，求x xy y x xy y
22
22323-++-的值。
分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。
解： x y x y -=∴=202
∴原式=-⋅+⋅+-()()2322223222
222y y y y y y
=-=-y y
22717
例5. 已知：x x 210--=，求x x 44
1+的值。
解一：由x x 210--=得x ≠0，等式两边同除以x 得： x x --
=110，即x x
-=11 x x x x 44441122+=+-+
=-+=-++=-+++=--++=+=()[()()]()()()[()]x x x x x x
x x x x x x x x
222222221211211221142527
解二：由已知得：x x -
=11，两边平方得：x x 2213+= 两边平方得：x x 44
17+
=
中考点拨：
1.若代数式()()||x x x -+-211
的值为零，则x 的取值范围应为（ ） A. x =2或x =-1
B. x =-1
C. x =±2
D. x =2 解：由已知得：()()||x x x -+=-≠⎧⎨⎪⎩⎪210
10
解得：x =2 故选D
简析：在求解分式值为零的题目时，考虑到分子为零，但不要忽略了分母不为零这一条件。
2. 已知：x y z 346
0++≠，求x y z x y z +--+的值。
解：设
x y z k 3460++=≠，则x k y k z k ===346，， ∴
+--+=+--+=x y z x y z k k k k k k 34634615
题型展示：
1. x 为何值时，
||x x x x -+-=+123132成立？ 解： ||||()()
x x x x x x -+-=-+-1231312 当x ≠1且x ≠-3时，分式x x x -+-1232与13
x +都有意义。
当||x x -=-11时，由分式的基本性质知： ||()()()()x x x x x x x -+-=-+-=+13113113
解不等式组：x x x -≥≠≠-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1013
得：x >1
∴当x >1时，x x x x -+-=+12313
2 说明：利用分式的基本性质解决恒等变形问题是基本性质的灵活运用，注意分式的基本性质所适用的条件是分式有意义，做题时应考虑分母不为零的条件。
2. 把分式1882483222a b ab a b
++++化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出这个整式与分式的乘积等于多少？
解：原式=++++291248
3222()a ab b a b =+++=+++2328
322328
322()()a b a b a b a b
∴+⋅+=2328
3216()a b a b
说明：利用因式分解、分式的基本性质可以化简分式。
【实战模拟】
1. 在下列有理式2
21
1
21
a x x m n x y
x y y a b ，，，，++-+-()()中，分式的个数是（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 如果分式a a a 2
24
26---的值为零，则a 的值为（ ）
A. 2
B. -2
C. a =2且a =-2
D. 0
3. 填空题：
（1）x y x y x y x y x y -+=-+=-+=--+()(
)
()
()
（2）当a =_______时，分式a a a -+1
32的值等于零；
当a =_______时，分式a a a -+1
32无意义。
4. 化简分式：x x x x x x 32325396512
++-++-
5. 已知：x y y y +=--=22402，，求y x y -
的值。
6. 已知：a b c ++=0，求a b c b c a c a b
()()()1111113+++
+++的值。
【试题答案】
1. 简析：判断一个有理式是否为分式，关键在于看分母中是含有字母，故选D 。
2. B
说明：分式值为0的条件：分子为分母不为00
⎧⎨⎪⎩⎪ 3. （1）x y x y y x x y y x x y x y x y -+=--+=--+=---+()()()()
（2）当a =1时，
a a a
-+132的值为0。
当a =0或a =-1时，a a a -+132无意义。
4. 解：原式=-+-+--+-+-()()()()()()
x x x x x x x x x x 3223226699771212 =-++-++=-+-++=++()()()()
()()()()()x x x x x x x x x x x x x 16917121313434222
说明：利用因式分解把分子、分母恒等变形，再约分。
5. 解： x y x y +=∴=-22， 2402
2022y y y y --=∴--=， ∴-=-=--=+-y x y y x y y y y y y y
22222() =-
-+=y y y y 2223232
说明：变形已知条件，先消元，再化简求值。
6. 解： a b c ++=0
∴+=-+=-+=-a b c b c a c a b ，，
∴原式=++++++a b a c b a b c c a c b
3
=
++++++=-+-+-+=---+=b c a a c b a b c a a b b c c 3311130。