z , | z || a | za

(a )z
n
1
n
[ (az ) 1] (a 1 z ) n 1
1 n n n 0
0
1 z X 2 ( z ) ( )1 , 1 1 a z za
(z a)
不同序列，可能对应于相同的 z 变换，但具有不同的收敛域， 故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
n1 n n n2
2．右边序列的收敛域
x(n) a un
3．左边序列的收敛域
n
x(n) a u n 1
4．双边序列的收敛域
xn b
n
n b 0
3、 几类序列收敛域情况讨论
（1）有限长序列
X (z)
n1 < 0, n2 ≤ 0 n1 < 0, n2 > 0 n1 ≥ 0, n2 > 0
证明： (略) X s ( s ) [ x(nT ) (t nT )]e st dt
0 n 0
改变积分与求和顺序 x(nT ) (t nT )e st dt
n 0 0
x(nT ) (0)e snT dt
n 0 0
2、级数收敛判定方法 （1） 比值判定法
对一个正项级数 n
设 lim n
a n1 an

X (z)
n
x ( n) z n

n


x ( n) z n
an
，
则： <1：收敛 >1：发散
=1：可能收敛也可能发散
（2） 根值判定法
a 对一个正项级数
n2 n n1
x(n),
n x ( n ) z
n1 n n2
0≤ |z| < ∞ 0 < |z| < ∞ 0 < |z| ≤ ∞
n1
n2
n1
n2
n1 = 0, n2 = 0
0 ≤ |z| ≤ ∞
n1
n2
有限长序列的收敛域至少为 0 < |z|n1 < ∞。 n2
例8-1
n1 2,
z变换的定义与收敛域
z 变换的定义
z 变换的收敛域
典型序列的z 变换
《信号与系统》
BUPT EE
§8.1

ห้องสมุดไป่ตู้
z变换的定义与收敛域
z 变换的定义——两种定义方式：
借助抽样信号的拉氏变换引出
直接对离散时间信号给出z变换定义
z变换的导出
抽样信号的拉氏变换→离散信号的z 变换
x( t ) xs ( t )
对 xs ( t ) 取拉氏变换
n 0
n 0
X s ( s) Lxs (t ) L x(nT ) (t nT ) n 0
X s s L[ x(nT ) (t nT )] x(nT ) e
n 0 n 0


snT
n n
X (z)
n
x ( n) z n

，
n


x ( n) z n
n a lim n 令： n
则： <1：收敛 >1：发散 =1：可能收敛也可能发散
3、 几类序列收敛域情况讨论
1．有限长序列的收敛域
x(n),
n
n1 n n2
A/ D
x k (n) 数字滤 波器
x n
g k ( n)
g( t )
D/ A
p( t )
xs t x nT t nT
O
T 2T
t

O
1 2
n

xs ( t ) x( t ) T ( t ) x(t ) (t nT ) x(nT ) (t nT )
第8章 z变换, 离散系统 的z域分析
一．引言
•求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算 机的研究和实践，推动了z变换的发展； •20世纪70年代引入大学课程； •主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理 等问题。

x(nT )e snT (0)dt x(nT )e snT
n 0 0 n 0


X s ( s ) x( nT )e snT
n 0

其中
s σ jω

引入复变量
z e sT ， 为连续变量，将xnT 表示为xn
X s ( s ) |z e sT x( n) z n X ( z )
n 0
单边z变换 对任一信号 x(n)的（双边） z变换式为
X (z)
n n x ( n ) z
双边z变换
（一） z 变换的定义
任一信号x(n) 的z变换定义为：
X (z)
n x ( n ) z ZT[ x( n)]
n
双边z变换
X ( z ) x ( n) z
使用z变换工具的好处
代数方程 差分方程
Z变换
可以将时域卷积 z 域乘积
连续时间系统 离散时间系统 拉普拉斯变换 Z变换
本章主要讨论：
Z变换的定义 收敛域 性质 与傅氏变换和拉氏变换的关系 利用z变换解差分方程 利用z平面零极点的分布研究系统的特性

§8.1


x ( n) z n
充要条件
ROC:Region of convergence
例：求下列2个序列的z变换,并指出其收敛域
x1 (n) a u(n)
n
X1 ( z) a z
n 0

n n
x 2 n a n u n 1 X 2 (z)
n
n 0

n
单边z变换
ze
sT
z 为复数: z＝Re(z)+jIm(z)= |z| ejarg(z)
（二） z变换的收敛域
1、收敛域的定义
对于任意给定的有界序列 x(n)，能使级数X ( z ) x( n) z n
n
收敛的所有 z 值之集合。即满足下式的区域：
n
n1 < 0, n2 ≤ 0
0≤ |z| < ∞
0 < |z| < ∞
n2 3 n1 ≥ 0, n2 > 0
n2 3 n n1 n 2
n1 < 0, n2 > 0